Teorema di Dirichlet

Nella teoria dei numeri, il teorema di Dirichlet (Peter Gustav Lejeune Dirichlet) afferma che dati due numeri interi coprimi $a$ e $b,$ esistono infiniti primi della forma $a+nb,$ dove $n$ è un intero positivo, o, in altre parole, ogni progressione aritmetica siffatta contiene infiniti numeri primi.

Questo teorema rappresenta una naturale generalizzazione di quanto affermato da Euclide, e cioè che esistono infiniti numeri primi (ciò infatti rappresenta il caso particolare in cui a = b = 1). In effetti, è in genere piuttosto facile dimostrare casi particolari di questo teorema (ad esempio che esistono infiniti primi della forma $4n+1,$ o $4n+3,$ o $6n+5,$ ecc.), ma il caso generale presenta invece parecchie difficoltà. È importante osservare che il teorema non dice affatto che esistono infiniti numeri primi consecutivi in progressione aritmetica. Eulero affermò che ogni progressione aritmetica che cominci con $1$ contiene un infinito numero di primi. Il teorema in questa forma fu prima congetturato da Gauss e dimostrato da Dirichlet nel 1835 con le L-serie di Dirichlet. La dimostrazione è modellata sul precedente lavoro di Eulero che collegava la funzione zeta di Riemann alla distribuzione dei numeri primi. Il teorema rappresenta l'inizio della moderna teoria dei numeri analitica.

Nella teoria dei numeri algebrica il teorema di Dirichlet viene generalizzato al teorema di densità di Chebotarev.

Casi particolari

Esistono delle dimostrazioni elementari per numerosi casi particolari del teorema, che si ottengono sulla falsariga della dimostrazione dell'infinità dei numeri primi data da Euclide.

Primi della forma 4n - 1

Supponiamo per assurdo che esistano solo un numero finito di primi della forma $4n-1$ , e sia $p$ il più grande di essi. Consideriamo il seguente intero:

N=4\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot \ldots \cdot p-1,

dove il prodotto contiene tutti i numeri primi dispari minori o uguali a $p.$ Il numero $N$ ha la forma $4n-1,$ ed essendo $N>p$ , deve essere composto. Tutti i suoi fattori sono inoltre maggiori di $p$ e, quindi, devono essere della forma $4n+1$ ^[1]. Ma il prodotto di due o più numeri di questa forma è ancora della forma $4n+1$ . Ciò conduce a un assurdo, pertanto esistono infiniti numeri primi della forma $4n-1.$

Primi della forma 4n + 1

Sia $N>1$ un intero. Poniamo $m=(N!)^{2}+1.$ Quindi $m$ è dispari e maggiore di $1.$ Chiamiamo $p$ il più piccolo divisore primo di $m.$ Poiché $m$ non è divisibile per nessuno dei numeri $2,3,\ldots ,N,$ allora $p>N$ e inoltre

(N!)^{2}\equiv -1{\pmod {p}}.

Eleviamo entrambi i membri all'esponente $(p-1)/2$ :

(N!)^{p-1}\equiv (-1)^{(p-1)/2}{\pmod {p}}.

Per il teorema di Fermat, $(N!)^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$ , quindi $(-1)^{(p-1)/2}\equiv 1{\pmod {p}}$ . Questa congruenza è evidentemente soddisfatta solo se $(p-1)/2$ è pari, e quindi $p\equiv 1{\pmod {4}}$ . In definitiva, per ogni $N$ esiste un primo $p>N$ della forma $4n+1.$ I numeri di questa forma sono dunque infiniti.

Altri casi particolari

Si possono fornire delle dimostrazioni semplici per molti altri casi, come le forme $6n+1$ , $6n-1$ , $8n+1$ , $8n+3$ , $8n-1$ , $8n-3$ , $12n-1$ , $12n+5$ , $12n-5$ ; con tecniche elementari, uno dei risultati più generali noti è che esistono infiniti numeri primi nelle progressioni aritmetiche delle forme $bn+1$ e $bn-1$ , ossia i casi particolari del teorema di Dirichlet in cui $a=+1$ e $a=-1$ .

Problemi analoghi

Il teorema può essere riespresso affermando che ogni polinomio di primo grado ax + b genera infiniti numeri primi quando alla x sono assegnati valori che sono numeri interi positivi, purché a e b siano coprimi. È facile tentare delle generalizzazioni: si congettura per esempio che ogni polinomio di secondo grado ax² + bx + c con a, b, c coprimi, a positivo, a + b e c non entrambi pari e discriminante che non sia un quadrato perfetto, generi infiniti numeri primi; analoga affermazione vale per i polinomi di grado superiore (purché ovviamente non siano fattorizzabili). La soluzione di problemi di questo tipo sembra ancora lontana, anche nei casi semplici come il polinomio x² + 1. Tuttavia lo stesso Dirichlet dimostrò che ogni forma quadratica in due variabili ax² + bxy + cy² con a, b e c coprimi genera infiniti numeri primi; B. M. Bredihin provò che anche la forma x² + y² + 1 genera infiniti primi, e recentemente (John Friedlander e Henryk Iwaniec, 1998) lo stesso è stato dimostrato per la forma x² + y⁴.^[2]

Note

^ Poiché $N+1$ è multiplo di ogni primo minore di $p,$ allora $N$ è con essi coprimo; perciò, ogni suo fattore primo deve essere maggiore di $p$ e, dovendo essere ovviamente dispari, ma non potendo essere della forma $4n-1$ (per ipotesi), deve essere della forma $4n+1.$
^ John Friedlander, Iwaniec, Henryk, The polynomial X² + Y⁴ captures its primes (PDF), in Annals of Mathematics, vol. 148, 1998, pp. 945–1040, DOI:10.2307/121034. URL consultato il 14 settembre 2008 (archiviato dall'url originale l'8 agosto 2017).