Teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

O teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas é um resultado da teoria analítica dos números demonstrado pelo matemático Johann Dirichlet.

Este teorema sobre a distribuição dos números primos em $\mathbb {N}$, foi conjecturado por Gauss e finalmente demonstrado em 1837 por Dirichlet, nome pelo qual é atualmente conhecido.

O primeiro teorema de convergência de séries de Fourier, devido a Dirichlet, apareceu em 1829 e se refere à funções monótonas em trechos. Por ele começamos primeiro com uns comentários sobre estas funções. Uma função monótona e cotada em um intervalo [a, b] é integrável e tem limites laterais finitos em cada ponto. Se estes limites não coincidem a função terá uma descontinuidade com um salto finito. A soma dos saltos não pode ser maior que a diferença dos valores da função nos extremos do intervalo, de modo que o conjunto de descontinuidades com salto maior que 1/n é finito e, portanto, o conjunto de descontinuidades é no máximo numerável. As mesmas propriedades serão certas para uma função monótona em trechos, ou seja, aquela que é monótona em uma quantidade finita de intervalos que unidos dão o intervalo original.

Enunciado

Seja $a_{1},\,b\in \mathbb {N} \;/\;\operatorname {mdc} (a_{1},\;b)=1$ então a progressão aritmética $a_{n}=a_{1}+b\cdot (n-1)$ contém infinitos números primos. (conforme Dirichlet)

Demonstração

A demonstração do teorema utiliza as propriedades de certas funções multiplicativas (conhecidas como funções L de Dirichlet) e vários resultados sobre aritmética de números complexos e é suficientemente complexa para que alguns textos clássicos de teoria dos números decidam excluí-la de seu repertório de demonstrações. Para evitar fazer uma leitura demasiado densa, neste artigo se excluiu da demostração alguns corolários intermediários que aparecem marcados como [AD]. A demostração completa, junto com os corolários excluídos aqui, podem ser encontrados no artigo de González de la Hoz.

Seja $G$ um grupo comutativo finito de ordem $h$ e elemento unitário $e$.

Um caráter sobre $G$ é uma função $\chi \in \mathbb {C} \;/\;\chi \neq 0,\;\chi (u\cdot v)=\chi (u)\cdot \chi (v)\;\forall u,v\in G$ Um caráter sobre $G$ tem uma série de propriedades importantes para nossa demonstração:

1. Dado que tanto a inversa de um caráter sobre $G$ como o produto dos caráteres sobre $G$ é também um caráter sobre $G$, o conjunto de caráteres sobre $G$ forma um grupo comutativo com a multiplicação.

   Isto permite definir o caráter principal do grupo $G$ que se define como a função $\chi _{0}\;/\;\chi _{0}(u)=1\;\forall u\in G$. O caráter principal é portanto o elemento unidade do grupo definido pelo conjunto de caráteres sobre $G$.

2. Como $\chi (e)=1$ e dado que a ordem de um elemento divide a ordem do grupo, então $\forall u\in G\;(\chi (u))^{h}=\chi (u^{h})=\chi (e)=1$, o que implica que $\mid \chi (u)\mid =1$.

   Dado que o número de raizes do elemento unitário de ordem $h$ é como máximo $h$, o número de carateres $c$ é finito, sendo o valor $h^{h}$ uma cota superior de $c$.

   Por outra parte $\forall u\in G,\;u\neq e$ existe um caráter $\chi \;/\;\chi (u)\neq 1$ ([AD]). Por ele, e se representa mediante $\sum _{G}a_{\chi }\,$ a soma do valor $a_{\chi }$ associado a cada um dos diferentes caráteres do grupo $G$, se tem estas propriedades adicionais ([AD]):

3. $\forall u\in G{\mbox{ se tem que: }}$ $\sum _{G}\chi (u)={\begin{cases}c&si\;u=e\\0&si\;u\neq e\end{cases}}$$\quad {\mbox{ onde }}c=\sum _{G}1$
4. $\forall u\in G{\mbox{ se tem que: }}$ $\sum _{u\in G}\chi (u)={\begin{cases}h&si\;\chi =\chi _{0}\\0&si\;\chi \neq \chi _{0}\end{cases}}$$\quad {\mbox{ onde }}h{\mbox{ é a ordem de }}G{\mbox{ sendo }}c=h$
5. $\forall u,v\in G{\mbox{ determina que: }}$ ${\frac {1}{h}}\sum _{\chi }{\frac {\chi (u)}{\chi (v)}}={\begin{cases}1&si\;u=v\\0&si\;u\neq v\end{cases}}$
6. $\forall \chi _{1},\chi _{2}\in G{\mbox{ determina que: }}$ ${\frac {1}{h}}\sum _{u\in G}{\frac {\chi _{1}(u)}{\chi _{2}(u)}}={\begin{cases}1&si\;\chi _{1}=\chi _{2}\\0&si\;\chi _{1}\neq \chi _{2}\end{cases}}$

   Dado um $q\in \mathbb {N}$, se definem os carateres $\chi$ do grupo $G=Z_{q}^{*}$ definido como as classes de congruência módulo $q$ de números coprimos com $q$.

   O grupo $G$ tem $\phi (q)$ elementos, e o podemos representar por $G=\lbrace a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{\phi (q)}\rbrace$ onde os diferentes $a_{i}$ são os representantes da classe de congruência que obedecem a condição $0<a_{j}<q$, e neste contexto se definem as funções estendidas dos caracteres $\chi$ de $G$ da seguinte maneira:

   $\chi (n)={\begin{cases}\chi (a_{i})&\mathrm {si} \;n\equiv a_{i}{\pmod {q}}\\0&\mathrm {si} \;\operatorname {mcd} (n,q)>1\end{cases}}$

   Estas funções se denominam caracteres de Dirichlet módulo q e são completamente multiplicativas. Existem $\phi (q)$ funções deste tipo e uma delas: $\chi _{0}(n)={\begin{cases}1&\mathrm {si} \;n\equiv a_{i}{\pmod {q}}\\0&\mathrm {si} \;\operatorname {mcd} (n,q)>1\end{cases}}$ se denomina caráter principal de Dirichlet.

   Estes carateres tem algumas propriedades significativas (derivadas das propriedades dos carateres de um grupo que vimos antes):

7. $\sum _{n(\mathrm {\;mod\;} q)}\chi (n)={\begin{cases}\phi (q)&\mathrm {si} \;\chi =\chi _{0}\\0&\mathrm {si} \;\chi \neq \chi _{0}\end{cases}}$
8. $\sum _{n(\mathrm {\;mod\;} q)}\chi (u)={\begin{cases}\phi (q)&\mathrm {si} \;u\equiv 1{\pmod {q}}\\0&\mathrm {si} \;u\not \equiv 1{\pmod {q}}\end{cases}}$
9. $\forall a\in \mathbb {N} \;/\;\operatorname {mcd} (a,\;q)=1{\mbox{ se tem que: }}$ $\sum _{n(\mathrm {\;mod\;} q)}{\frac {\chi (u)}{\chi (a)}}={\begin{cases}\phi (q)&\mathrm {si} \;u=a\\0&\mathrm {si} \;u\neq a\end{cases}}$

Neste ponto se deve introduzir o seguinte definição:

Uma função-L de Dirichlet é uma função da forma

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}$ onde $s\in \mathbb {C}$ e $\chi$ é um caráter de Dirichlet.

Os valores de $\chi$ são periódicos, o que implica que a série $L(s,\,\chi )$ converge absolutamente para $\Re (s)>1$ e uniformemente para $\Re (s)>1+\varepsilon ,\quad \forall \varepsilon >0.$ Além disso, como os coeficientes são completamente multiplicativos, a série admite a seguinte expressão: $L(s,\chi )=\prod _{p}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{-1}$ Quando $\Re (s)>1$ A função-L de Dirichlet tem as seguintes propriedades ([AD]):

1. $L(s,\chi )\neq 0$
2. $L(s,\chi _{0})=\zeta (s)\cdot \prod _{p\mid q}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)$
3. ${\frac {L^{\prime }(s,\chi )}{L(s,\chi )}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)\Lambda (n)}{n^{s}}}$
4. $\ln(L(s,\chi ))=\sum _{p}{\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m}}{\frac {(\chi (p))^{m}}{p^{m\cdot s}}}}$

Da igualdade $L(s,\chi _{0})=\zeta (s)\cdot \prod _{p\mid q}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)$ e as propriedades da função $\zeta$ se deduz que a função $L(s,\chi _{0})$ é analítica no semiplano complexo $\Re (s)>0$ a exceção de um polo em $s=1$, cujo resíduo é $\prod _{p\mid q}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)={\frac {\phi (q)}{q}}$. Como consequência disto, podemos afirmar que $L(s,\chi _{0})=f(s)+{\frac {\phi (q)/q}{s-1}}$, onde $f$ é analítica e não tem singularidades em $\Re (s)>0$, de modo que a função expressa por ${\frac {L^{\prime }(s,\chi )}{L(s,\chi )}}={\frac {f^{\prime }(s)-{\frac {\phi (q)/q}{(s-1)^{2}}}}{f(s)+{\frac {\phi (q)/q}{s-1}}}}={\frac {(s-1)^{2}f^{\prime }(s)-\phi (q)/q}{(s-1)f(s)-\phi (q)/q}}{\frac {1}{s-1}}$ tem também um polo em $s=1$ com resíduo $-1$. Por outra parte, toda função-L de Dirichlet $L(s,\chi )$ com $\chi \neq \chi _{0}$ é analítica e não apresenta singularidades na zona $\Re (s)>0$ ([AD]). E para $k>0$ se tem ([AD]) que $\sum _{p=a{\pmod {q}}}{\frac {\ln(p)}{p^{k}}}=\sum _{n=a{\pmod {q}}}{\frac {\Lambda (n)}{n^{k}}}-O(1)$ o qual também se pode expressar como:

$\sum _{p=a{\pmod {q}}}{\frac {\ln(p)}{p^{k}}}=$${\frac {-1}{\phi (q)}}\cdot {\frac {L^{\prime }(k,\chi _{0})}{L(k,\chi _{0})}}-{\frac {1}{\phi (q)\chi (a)}}\sum _{\chi {\pmod {q}} \atop \chi \neq \chi _{0}}{\frac {L^{\prime }(k,\chi )}{L(k,\chi )}}-O(1)$

Esta expressão é chave para a demonstração do teorema de Dirichlet, pois podemos concluir que o teorema é correto se o primeiro termo do segundo membro diverge quando os restantes termos permanecem dentro de uns limites. Como se obedece que $L(1,\chi )\neq 0$ quando $\chi \neq \chi _{0}$ a seguinte expressão:

$\lim _{k\rightarrow 1^{+}}{\frac {1}{\phi (q)\chi (a)}}\sum _{\chi {\pmod {q}} \atop \chi \neq \chi _{0}}{\frac {L^{\prime }(k,\chi )}{L(k,\chi )}}={\frac {1}{\phi (q)\chi (1)}}\sum _{\chi {\pmod {q}} \atop \chi \neq \chi _{0}}{\frac {L^{\prime }(1,\chi )}{L(1,\chi )}}=O(2)$

obtem um valor finito e, como vimos, dado que ${\frac {1}{\chi _{0}(a)}}{\frac {L^{\prime }(k,\chi _{0})}{L(k,\chi _{0})}}={\frac {L^{\prime }(k,\chi _{0})}{L(k,\chi _{0})}}$ tem um polo em $s=1$ com resíduo $-1$ resulta que $\lim _{k\rightarrow 1^{+}}{\frac {L^{\prime }(k,\chi _{0})}{L(k,\chi _{0})}}=-\infty$ o que implica que:

$\sum _{p=a{\pmod {q}}}{\frac {\ln(p)}{p}}=$$\lim _{k\rightarrow 1^{+}}\sum _{p=a{\pmod {q}}}{\frac {\ln(p)}{p^{k}}}=$${\frac {-1}{\phi (q)}}\left(\lim _{k\rightarrow 1^{+}}{\frac {L^{\prime }(k,\chi _{0})}{L(k,\chi _{0})}}+O(2)\right)+O(1)=$$\infty$

o que prova o teorema.

Ver também

• Teorema de Green-Tao