Paradosso di Burali-Forti

Il paradosso di Burali-Forti dimostra che costruire "l'insieme di tutti i numeri ordinali" porta ad una contraddizione e quindi individua un'antinomia in un sistema che permette la sua costruzione.

Il motivo è che l'insieme di tutti i numeri ordinali $\Omega$ possiede tutte le proprietà di un numero ordinale e sarebbe quindi considerato a sua volta un numero ordinale. Quindi si può costruire il suo successore $\Omega +1$, che è strettamente maggiore di $\Omega$. Ma questo numero ordinale deve essere elemento di $\Omega$, in quanto $\Omega$ contiene tutti i numeri ordinali, quindi si giunge a:

$\Omega <\Omega +1\leq \Omega$.

La moderna teoria assiomatica degli insiemi aggira questa antinomia non consentendo la costruzione di insiemi con formule di comprensione senza restrizione come "tutti gli insiemi che hanno la proprietà $P$", come era possibile nel sistema di assiomi di Gottlob Frege.

Il paradosso prende il nome da Cesare Burali-Forti, che lo formulò nel 1897.

Collegamenti esterni

• Burali-Forti, paradosso di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Paradosso di Burali-Forti, su MathWorld, Wolfram Research.