Polinomio trigonometrico

In matematica, un polinomio trigonometrico è una combinazione lineare finita di funzioni $\sin(nx)$ e $\cos(nx)$ per alcuni valori di $n$ interi non negativi. Una serie di Fourier troncata è un polinomio trigonometrico.

I polinomi trigonometrici sono usati, per esempio, nell'interpolazione trigonometrica usata per interpolare funzioni periodiche e nella trasformata di Fourier discreta.

Il termine polinomio trigonometrico deriva dall'analogia dell'uso delle funzioni $\sin(nx)$ e $\cos(nx)$ a una base di monomi per i polinomi.

Definizione formale

Una funzione $T$ della forma

T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+i\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbb {R} ),

con $a_{n},b_{n}\in \mathbb {C}$ per $n=0,\ldots ,N$ e almeno uno tra $a_{N}$ e $b_{N}$ diverso da zero, è detta polinomio trigonometrico complesso di grado $N$ . Usando la formula di Eulero il polinomio può essere riscritto come

T(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{inx}\qquad (x\in \mathbb {R} ).

Analogamente, se $a_{n},b_{n}\in \mathbb {R}$ per $n=0,\ldots ,N$ e almeno uno tra $a_{N}$ e $b_{N}$ diverso da zero, la funzione

t(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbb {R} ),

è detta polinomio trigonometrico reale di grado $N$ .

Proprietà

Un polinomio trigonometrico di grado $N$ può essere considerato come una funzione periodica sulla retta reale con periodo un divisore di $2\pi$ o come una funzione (non periodica) sul cerchio unitario.

Un polinomio trigonometrico non identicamente nullo di grado $N$ ha al massimo $2N$ radici in ogni intervallo $[a,a+2\pi )$ per ogni $a$ reale.

L'insieme dei polinomi trigonometrici è denso nello spazio delle funzioni continue sul cerchio unitario con la norma uniforme. Questo è un caso speciale del teorema di Stone-Weierstrass. Più precisamente: per ogni funzione continua $f$ e per ogni $\varepsilon >0$ esiste un polinomio trigonometrico $T$ tale che $|f(x)-T(x)|<\varepsilon$ per ogni $x$ .