Teorema del confronto

Grafico della funzione $x^{2}\sin \left(x^{-1}\right)$ , che illustra il teorema

Il teorema del confronto è un teorema di analisi matematica. Assume forme diverse a seconda del contesto, e permette di calcolare il limite di una successione o funzione confrontando questa con altri due oggetti analoghi che "si stringono sempre di più" intorno a quello dato.

È informalmente chiamato teorema dei due carabinieri, per un'allegoria: il teorema sarebbe rappresentato da due carabinieri (due funzioni o successioni $a,c$ che si stringono sempre di più) che conducono in arresto un prigioniero (una funzione o successione $b$ ): questo "tende" sicuramente allo stesso punto dove tendono i carabinieri (il limite comune di $a$ e $c$ ). Sulla base di considerazioni simili, il teorema è talvolta detto anche teorema del sandwich o teorema di compressione.

Successioni

Il teorema del confronto per le successioni asserisce che se $\{a_{n}\},\{b_{n}\}$ e $\{c_{n}\}$ sono tre successioni di numeri reali tali che definitivamente (cioè per $n$ sufficientemente grande)

a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}

e se si ha

\lim _{n\to +\infty }a_{n}=\lim _{n\to +\infty }c_{n}=l,

allora anche

\lim _{n\to +\infty }b_{n}=l.

Dimostrazione

Dalla definizione di limite di una successione, si ricava che per ogni $\varepsilon >0$ esistono $N,N'$ tali che:

l-\varepsilon <a_{n}<l+\varepsilon ,\qquad \forall n>N,

l-\varepsilon <c_{n}<l+\varepsilon ,\qquad \forall n>N'.

Quindi per ogni $n$ maggiore di $M=\max\{N,N'\}$ si ottiene:

l-\varepsilon <a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}<l+\varepsilon .

Quindi per ogni $\varepsilon >0$ esiste un $M$ tale che:

l-\varepsilon <b_{n}<l+\varepsilon ,\qquad \forall n>M.

In altre parole, la successione $b_{n}$ tende a $l$ .

Esempi

La successione:

b_{n}={\sin n\cos n \over n^{2}}

è "stretta" fra le successioni:

a_{n}=-{\frac {1}{n^{2}}},\qquad \ c_{n}={\frac {1}{n^{2}}}

poiché

-1\leq \sin n\cos n\leq 1

implica

-{\frac {1}{n^{2}}}\leq {\sin n\cos n \over n^{2}}\leq {\frac {1}{n^{2}}},

per ogni $n$ . Entrambe $a_{n}$ e $c_{n}$ sono infinitesime (convergono cioè a zero), e quindi per il teorema del confronto anche $b_{n}$ è infinitesima.

Corollario

Teoremi di confronto si possono applicare anche per i limiti infiniti. Se $\{a_{n}\},\{b_{n}\}$ sono due successioni tali che:

a_{n}\leq b_{n}

per ogni $n$ , e se

\lim _{n\to +\infty }a_{n}=+\infty ,

allora anche

\lim _{n\to +\infty }b_{n}=+\infty .

Oppure se

a_{n}\leq b_{n},

per ogni $n$ , e se

\lim _{n\to +\infty }b_{n}=-\infty ,

allora anche

\lim _{n\to +\infty }a_{n}=-\infty .

Dimostrazione Corollario

Per ipotesi $\lim _{n\to +\infty }a_{n}=+\infty$ e pertanto, dalla definizione di limite di una successione, per ogni $M>0$ esiste un numero naturale $N$ tale che $a_{n}>M$ per ogni $n>N$ .

Dato che $b_{n}\geq a_{n}$ per ogni $n$ si ottiene che:

b_{n}\geq a_{n}>M.

Quindi:

\lim _{n\to +\infty }b_{n}=+\infty .

Funzioni

Il teorema del confronto per le funzioni asserisce che, date tre funzioni $f,g,h\colon X\to \mathbb {R}$ definite su un dominio $X$ di $\mathbb {R}$ , e dato un punto di accumulazione $x_{0}$ per $X$ , se:

\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}h(x)=l

ed esiste un intorno $U$ di $x_{0}$ tale che

f(x)\leq g(x)\leq h(x),\qquad \forall x\in U\cap X\backslash \left\{x_{0}\right\},

allora

\lim _{x\to x_{0}}g(x)=l.