Teorema del resto

Nell'algebra, il teorema del resto fornisce un metodo per calcolare il resto di un polinomio intero $P(x)$ quando viene diviso per un binomio della forma $(x-a)$, senza dover eseguire la divisione. Il teorema afferma che il resto di tale divisione è uguale al valore che il polinomio assume per $x=a$.

Dividendo un polinomio $P(x)$ per un polinomio $D(x)$, si ottiene una relazione del tipo:

$P(x)=D(x)\cdot Q(x)+R(x),$

dove $R(x)$ è un polinomio di grado minore di quello di $D(x)$. In particolare, se $D(x)=x-a$, la relazione diventa:

$P(x)=(x-a)\cdot Q(x)+r,$

dove $r$ è una costante numerica. Sostituendo $x=a$ si ottiene:

$P(a)=(a-a)\cdot Q(a)+r=r.$

Quindi $P(a)=r$ ossia ciò che vogliamo dimostrare.

Teorema di Ruffini

Un ovvio corollario del teorema del resto è il teorema di Ruffini:

Un polinomio $P(x)$ è divisibile per $(x-a)$ se e solo se il resto della divisione è nullo, e quindi $P(a)=0$.

Questo rende possibile determinare la divisibilità di un polinomio per un binomio $(x-a)$ senza dover eseguire la divisione.

Bibliografia

• Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.

Voci correlate

• Algebra elementare
• Divisibilità di binomi notevoli
• Polinomio
• Regola di Ruffini
• Teorema delle radici razionali

Collegamenti esterni

• (EN) remainder theorem, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Polynomial Remainder Theorem, su MathWorld, Wolfram Research.

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