Topologia degli interi equispaziati

In topologia generale, una branca della matematica, la topologia degli interi equispaziati è la topologia sull'insieme dei numeri interi generata dalla famiglia delle progressioni aritmetiche. Questa particolare topologia è stata introdotta da Fürstenberg nel 1955 per provare l'infinità dei numeri primi.

Definizione

Per ogni coppia di interi $a,b$ poniamo $a\mathbb {Z} +b:=\{an+b:n\in \mathbb {Z} \}$, allora la topologia $\tau$ degli interi equispaziati è la topologia di $\mathbb {Z}$ che ha come base $\{a\mathbb {Z} +b:a,b\in \mathbb {Z} {\mbox{ con }}a\neq 0\}$. In altri termini gli aperti di $\tau$ sono tutti e soli gli insiemi che sono unione di insiemi del tipo $a\mathbb {Z} +b$ con $a,b$ interi e $a\neq 0$.

Proprietà

Lo spazio topologico $(\mathbb {Z} ,\tau )$ ha alcune interessanti proprietà:

• L'insieme $a\mathbb {Z} +b$ è chiuso-aperto per ogni $a,b$ interi con $a\neq 0$; usando ciò si può dimostrare il teorema dell'infinità dei numeri primi, infatti detto $\mathbb {P}$ l'insieme dei primi si ha

$\mathbb {Z} \setminus \{-1,+1\}=\bigcup _{p\in \mathbb {P} }(p\mathbb {Z} +0)$

se per assurdo i primi fossero finiti allora il secondo membro sarebbe chiuso, quindi $\{-1,1\}$ sarebbe aperto ma cioè non è possibile poiché chiaramente non è unione di insiemi del tipo $a\mathbb {Z} +b$ con $a,b$ interi e $a\neq 0$, essendo un insieme finito.

• $(\mathbb {Z} ,\tau )$ è totalmente disconnesso, non è né compatto né localmente compatto, è metrizzabile e una sua metrica è quella indotta dalla norma

$\|x\|:=\inf _{n\in \mathbb {N} ^{+}}\left\{{\frac {1}{n}}\,:\,n!\;{\mbox{ divide }}\;x\right\}$

Bibliografia

• Harry Fürstenberg, On the infinitude of primes, in American Mathematical Monthly, vol. 62, n. 5, Mathematical Association of America, 1955, pp. 353, DOI:10.2307/2307043, JSTOR 2307043.
• L. A. Steen e J. A. Seebach, Counterexamples in Topology, Dover, 1995, pp. 80–81, ISBN 0-486-68735-X.