Velocità limite (fluidodinamica)

In fluidodinamica, la velocità limite è la massima velocità che un corpo immerso in un fluido (ad esempio nell'aria o nell'acqua) può raggiungere quando è sottoposto ad una forza di resistenza fluidodinamica (dovuta alla presenza del fluido) che compensa esattamente una forza costante agente nel senso opposto (ad esempio la forza di gravità o la forza di galleggiamento).

Si parla in particolare di:

velocità terminale di caduta se la forza di resistenza fluidodinamica contrasta la forza di gravità (come succede nel caso di un corpo in caduta libera nell'aria);
velocità terminale di risalita se la forza di resistenza fluidodinamica contrasta la forza di galleggiamento (come succede nel caso delle bolle d'aria che si innalzano nell'acqua).

Il raggiungimento della velocità limite è preceduto da un regime transitorio (durante il quale la velocità del corpo aumenta) che prosegue fino al raggiungimento di uno stato stazionario (in corrispondenza del quale la velocità ha raggiunto il suo valore massimo per cui rimane costante nel tempo).

Velocità terminale di caduta

Quando un corpo cade liberamente in un fluido acquista velocità per effetto dell'accelerazione dovuta alla forza di gravità. Nel suo procedere in questo moto il corpo incontra la resistenza del fluido che lo rallenta. Questa resistenza aumenta con il crescere della velocità del corpo.

Ad un certo punto si verificherà che la forza di gravità e la resistenza dell'aria avranno la stessa intensità. Da quell'istante in poi il corpo, soggetto ad una risultante di forze nulla essendo uguali ed opposte le due forze che agiscono su esso, procederà ad una velocità costante, detta "velocità terminale di caduta".^[1]

Esempi

Non è invece possibile individuare una velocità limite di un corpo disomogeneo, in quanto subendo delle rotazioni durante la caduta libera modifica continuamente la propria velocità (semmai, facendo alcune semplificazioni, si può calcolare una velocità limite "media"). Se inoltre il corpo non è rigido ma deformabile, la situazione si complica maggiormente (ad esempio un fazzoletto in caduta libera nell'aria subisce repentini cambiamenti di forma e velocità).

Descrizione matematica

Una sfera in caduta libera in un fluido dopo un transitorio iniziale viaggia a velocità costante, in quanto la somma vettoriale delle forze agenti su di essa è nulla.

Per determinare l'espressione che lega la velocità terminale di caduta ad altre grandezze direttamente misurabili, è necessario anzitutto determinare la generica equazione del moto di un grave in caduta libera all'interno di un fluido, quindi da questa è possibile ricavare l'espressione della velocità terminale di caduta determinando il valore assunto dalla velocità per tempi molto lunghi.

Per semplicità, l'origine degli assi può essere posizionato in corrispondenza della posizione iniziale del grave e l'asse z verticale rivolto nel verso di caduta del grave.

Tracciando un diagramma di corpo libero del corpo con le forze agenti su di esso, si nota che in un istante qualsiasi la forza risultante $m{\ddot {\mathbf {x} }}$ è data dalla differenza della forza di gravità $m\mathbf {g}$ e della forza di resistenza fluidodinamica $k|{\dot {\mathbf {x} }}|{\dot {\mathbf {x} }}$ :

m{\ddot {\mathbf {x} }}=m\mathbf {g} -k|{\dot {\mathbf {x} }}|{\dot {\mathbf {x} }}

dove:

$\mathbf {x}$ , ${\dot {\mathbf {x} }}$ e ${\ddot {\mathbf {x} }}$ indicano lo spostamento, la velocità e l'accelerazione del grave (ciascun punto sopra la x indica un'operazione di derivazione rispetto al tempo t);
m è la massa del grave;
g è l'accelerazione di gravità;
k è il coefficiente di resistenza idraulica.

Ipotizzando che inizialmente il corpo sia fermo e che la sua posizione iniziale corrisponda all'origine degli assi, all'uguaglianza precedente possiamo associare le seguenti condizioni iniziali:

lo spostamento del corpo è nullo in corrispondenza dell'origine: $\mathbf {x} (0)=\mathbf {0}$
la velocità del corpo è nulla in corrispondenza dell'origine: ${\dot {\mathbf {x} }}(0)=\mathbf {0}$

Per ricavare l'equazione del moto del corpo bisogna quindi risolvere il seguente problema di Cauchy:

{\begin{cases}m{\ddot {\mathbf {x} }}=m\mathbf {g} -k|{\dot {\mathbf {x} }}|{\dot {\mathbf {x} }}\\\mathbf {x} (0)=\mathbf {0} \\{\dot {\mathbf {x} }}(0)=\mathbf {0} \end{cases}}

Attraverso una serie di passaggi matematici, si ricava che la velocità del corpo lungo l'asse z varia secondo la seguente relazione:

{\dot {x}}={\sqrt {\frac {mg}{k}}}\operatorname {tanh} \left({\sqrt {\frac {kg}{m}}}\cdot t\right)

La velocità terminale di caduta V_l può essere calcolata determinando il valore limite che raggiunge la velocità per un tempo tendente a infinito:

V_{l}=\lim _{t\to \infty }|\mathbf {\dot {x}} |={\sqrt {\frac {mg}{k}}}

Questa relazione mostra che la velocità tende a stabilizzarsi verso un valore limite V_l che dipende dal coefficiente di resistenza idraulica k caratteristico del fluido in cui è immerso il grave, dalla sua massa e dalla accelerazione di gravità. Tale coefficiente di resistenza idraulica è pari a:

\quad k={\frac {\rho AC_{d}}{2}}

:

Dalle due relazioni precedenti si ottiene quindi la seguente relazione utile a determinare la velocità terminale di caduta:

V_{l}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}

in cui:

$C_{d}$ è il coefficiente di resistenza aerodinamica;
$\rho$ è la densità del fluido attraverso il quale l'oggetto si muove;
$A$ è l'area della sezione dell'oggetto ortogonale alla direzione del moto (in altre parole è l'area dell'"ombra" dell'oggetto proiettata verso il basso).

Nel caso di un corpo sferico e per valori del numero di Reynolds minori di 1, anziché utilizzare tale relazione, che prevede la conoscenza del coefficiente di resistenza, è possibile utilizzare la legge di Stokes.