Математика

Математика (гр. μάθημα — ғылым, білім, оқу; μαθηματικός — білуге құштарлық) — ақиқат дүниенің сандық қатынастары мен кеңістік пішіндері жайлы ғылым.

Математика абстрактілендіру және логикалық қорыту: есептеу, санау, өлшеу және физикалық нәрселерді жүйелі түрде орнықтыру, бейнелеу мен өзгерістерді оқыту арқылы көрініс табады.

Математика тарихы

Көне Мысырдың Ахмосе немесе Райнд папирусы

Математиканың даму тарихы шартты түрде төрт кезеңге бөлінеді.

Бірінші кезең — математиканың білім-дағдыларының қорлану, жинақталу дәуірі. Ол ерте кезден басталып б.з.б. 7-6 ғасырларына дейін созылды. Бұл дәуірде математика адамзат тәжірибесіне тікелей тәуелді болды, содан қорытылған ережелер жинағынан тұрды.

Екінші кезең — математиканың өз алдына дербес теориялық ғылым болып туу, қалыптасу кезеңі. Мұнда арифметика, геометрия, алгебра, тригонометрия айрықша теориялық пән болып қалыптасты. Бұл кезең тұрақты шамалар математикасының, кейде элементар математика кезеңі деп аталады. Ол екі мың жылға жуық мерзімге созылып, шамамен XVII ғасырда аяқталады.

Үшінші кезең — айнымалы шамалар математикасы немесе жоғары математиканың (математикалық талдау, аналитикалық геометрия т.б.) туу, қалыптасу кезеңі. Бұл XVII ғасырда басталып, XIX ғасырдың 2-жартысына дейін созылды.

Математиканың қарастыратын сан қатынастары мен кеңістік пішіндерінің шеңбері ұлғая келіп, XIX ғасырдың орта тұсынан бастап математикалық зерттеулерді саналы түрде кеңейту мәселесі күн тәртібіне қойылды. Н.И. Лобачевский ашқан евклидтік емес геометрия жүйесі бұл бағыттағы алғашқы қадам болды. Жиындар теориясына байланысты талдаудың, геометрияның және алгебраның жаңа сападағы салалары шыққаннан кейін, математиканың негізгі мәселелерін жалпы қарастыру кезеңін төртінші кезеңге жатқызуға болады.

Сандар

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 араб сандары деп аталады. Олар ондық санау системасы бойынша сан жазудың негізі. Араб сандарын үнділер тапқан, кейін келе ол арабтардың арасында таралған. XII ғасырдың басында Италия ғалымы Фибоначчи (Leonardo Fibonacci, 1170-1250 жж.) латын тілінде жазылған «Есеп шот» деген кітабында үнді сандарын еуропалықтарға таныстырған. Еуропалықтар бұл сандарды арабтардан қабылдағандықтан, мұны араб сандары деп атап кеткен.

Әртүрлі заттарды, денелерді санағанда, біз натурал сандарды қолданамыз. Натурал сандардың айырымы түрінде өрнектеуге болатын сандар жиынын бүтін сандар дейміз. Бүтін сандар мен оларды бір-біріне бөлу кезінде пайда болатын бөлшек сандарды рационал сандар жиыны біріктіреді. Рационал сандарды және иррационал сандарды біріктіретін жиынды нақты сандар дейміз. Нақты сандардың кеңейтуі кешен сандар және т.б болып табылады.

$1,\;2,\;\ldots$ Натурал сандар $0,\;1,\;-1,\;\ldots$ Бүтін сандар $1,\;-1,\;{\frac {1}{2}},\;{\frac {2}{3}},\;0{,}12,\;\ldots$ Рационал сандар $1,\;-1,\;{\frac {1}{2}},\;0{,}12,\;\pi ,\;{\sqrt {2}},\;\ldots$ Нақты сандар
$-1,\;{\frac {1}{2}},\;0{,}12,\;\pi ,\;3i+2,\;e^{i\pi /3},\;\ldots$	$1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-{\frac {1}{2}}k,\;\dots$
Кешен сандар	Кватерниондар

Түрлендіру

$36\div 9=4$		${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}y={\frac {d}{dx}}y+c$
Арифметика	Дифференциалдық және интегралдық есептеу	Дифференциалдық теңдеулер
$\int 1_{S}\,d\mu =\mu (S)$
Математикалық талдау	Векторлық талдау	Динамикалық жүйелер

Кеңістіктегі қатынастар

Геометрия	Тригонометрия	Дифференциалдық геометрия	Топология	Фракталдар	Өлшем қатынастары

Дискреттік математика

$\forall x(P(x)\Rightarrow P(x'))$
Математикалық логика	Есептелімділік теориясы	Криптография	Графтар теориясы

Бөлімдері

Арифметика

Арифме́тика (гр. ἀριθμός «сан») — математиканың, қарапайым сандар түрлерін (натурал сандар, бүтін сандар, рационал сандар) және оларға қолданатын қарапайым арифметикалық операцияларды (қосу, алу, көбейту, бөлу) зерттейтін саласы.

Геометрия

Планиметрия

Планиметрия (лат. planum — жазықтық, көне грекше: $\mu \varepsilon \tau \rho \varepsilon \omega$) — екі өлшемді фигураларды, яки жазықтықта жатқан фигураларды, олардың қасиеттерін зерттейтін геометрия бөлімі.

Планиметрия туралы алғашқы жүйелі түрде зерттелген шығарма Евклидтің «Негіздері» (лат. 'Elementa') атты еңбегі болып табылады.

Стереометрия

Стереометрия (грек. stereo — «кеңістік» + metreo — «өлшеу») — кеңістіктегі фигуралардың қасиеттері қарастырылатын, евклидтік геометрия бөлімі. Кеңістіктегі негізгі (қарапайым) фигураларға нүктелер, түзулер мен жазықтықтар жатады. Стереометриядағы басты ерекшеліктердің бірі - түзулердің өзара орналасуының жаңа түрі: айқас түзулер қарастырылады.

Алгебра

Исаак Ньютонның «Табиғи пәлсапаның математикалық бастамалары» атты кітабының мұқабасы.

Алгебра (арабша әл-жәбр) — Математиканың теңдеулерді шешу жөніндегі есептерге байланысты дамыған негізгі бөлімдерінің бірі. Алгебра атау және жеке ғылым саласы ретінде Әбу Абдаллаһ әл-Хорезмидің 1-ші, 2-ші дәрежелі теңдеулерге келтірілетін есептердің жалпы шешімі көрсетілген «Әл-жәбр уә-л-Мұқабала» атты еңбегінен бастау алады. Ал, Омар Хайям（1038/48-1123/24）— 3-ші дәрежелі теңдеулерді зерттеуді жүйелеп, өзінің «Алгебрасын» жазған. Орта ғасырлық шығыс ғұламалары гректер мен үнділердің математикасын түрлендіріп, қайта өңдеп Еуропаға табыс еткен. Амалдарды белгілейтін таңбалар енгізу нәтижесінде алгебра одан әрі дамыды. XVII ғасырдың ортасында қазіргі алгебрада қолданылатын таңбалар, әріптер толық орнықты. Ал 18-ші ғасырдың басында алгебра математиканың жеке бөлімі ретінде қалыптасты. 17-18—ші ғасырларда теңдеулердің жалпы теориясы (көпмүшеліктер алгебрасы, т. б) қарқындап дамыды. Оған сол кездегі ірі ғалымдар — Рене Декарт, Исаак Ньютон, Жан Даламбер мен Жозеф Лагранж үлкен үлес қосты. Неміс математигі Карл Гаусс кез келген n дәрежелі алгебралық теңдеудің нақты не жорамал n түбірі болатындығын анықтаған (1799). XIX ғасырдың басында норвег математигі Нильс Абель және француз математигі Эварист Галуа дәрежесі 4 тен жоғары болатын теңдеулердің шешуін алгебралық амалдар көмегімен теңдеудің коэффиценті арқылы өрнектеуге болмайтындығын дәлелдеген.

Алгебралық өрнек

Algebraic expression Саны шекті әріптермен сандардан құралған және бір–бірімен қосу, азайту, көбейту, бөлу бүтін санға дәрежелеу сондай-ақ түбір табу амалдарының таңбалары арқылы біріктірілген өрнек. Егер өрнекке енетін әріптер түбір астында болмаса, онда алгебралық өрнек сол әріптерге қарағанда рационал алгебралық өрнек деп аталады. (мысалға өрнегі ға қарағанда рационал алгебралық өрнек). Егер белгілі бір әріптер енетін өрнекте бөлу амалы болмаса, онда алгебралық өрнек сол әріптерге қарағанда бүтін алгебралық өрнек деп аталады. Егер кейбір әріптерді(не бәрін) айнымалы деп санасақ онда алгебралық өрнек алгебралық функцияға болады.

Анықталмаған теңдеу

Сандар теориясының аса маңызға ие, бай тарихы бар, мазмұны мол саласының бірі. Анықталмаған теңдеу деп белгісіздің саны теңдеудің санынан көп болатын теңдеулер жүйесін не теңдеуді айтамыз. Көне Гректің атақты математигі Диофант сонау III ғасырдың басында-ақ осындай түрдегі теңдеулерді зеріттей бастаған, сондықтан кейде анықталмаған теңдеу Диофант теңдеуі деп те аталады. 1969 жылғы, Л.Ж.Модердің «Диофант теңдеуі» атты кітабы осы саладағы зеріттеулердің нәтижесін бір ретке келтіріп берді. Соңғы он жылда осы салада аса зор дамушылық байқалады. Дегенменен, жалпы жағдайға алып қарағанда, екінші дәрежеден жоғары анықталмаған теңдеулер туралы адамдардің білері шамалы. Енді бір жағынан, анықталмаған теңдеумен математиканың басқа салалары, мысалға, алгебралық сандар теориясы, алгебралық геометрия, терулер математикасы қатарлылармен тығыз байланысы бар, шекті топтар мен көркем модудауға да осы анықталмаған теңдеулерді қолдануға болады, осы себептен де математиканың осы бір көне саласы әлі де көптеген математиктердің назарын өзіне аударуда.

Әдебиет

• Математика әлемі
• Техникадағы математика
• Экономикадағы математика
• Математика терминдерінің түсіндірме сөздігі
• Математикалық логика және дискретті математика

Сілтемелер

• Қазақша математиктер сайты
• Қазақстан математика пәні мұғалімдері Мұрағатталған 6 сәуірдің 2022 жылы.