여덟 퀸 문제
해 중 하나.
| a | b | c | d | e | f | g | h | ||
| 8 |   | 8 | |||||||
| 7 | 7 | ||||||||
| 6 | 6 | ||||||||
| 5 | 5 | ||||||||
| 4 | 4 | ||||||||
| 3 | 3 | ||||||||
| 2 | 2 | ||||||||
| 1 | 1 | ||||||||
| a | b | c | d | e | f | g | h | ||
8 퀸 문제는 8x8크기의 체스판에 퀸을 8개 배치하는 문제이다. 1848년 막스 베첼이 처음 제안하였다. 이 문제를 일반화하면 NxN 크기의 체스판에 퀸을 N개 배치하는 N 퀸 문제가 된다. 구성적인 해법으로 N이 2,3인경우를 제외하고 해를 찾을 수 있다.
해
[편집]8x8의 해를 나열하면 아래와 같다.
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해 1
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해 2
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해 3
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해 4
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해 5
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해 6
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해 7
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해 8
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해 9
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해 10
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해 11
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해 12
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N 퀸 문제
[편집]아래에는 n개의 퀸을 n × n 판에 나타내는 해의 수를 나타내었다. 고유한 해(선대칭이나 점대칭으로 대칭인 해)는 온라인 정수열 사전에서(OEIS의 수열 A002562)에 일반적인 해(대칭을 구별한 해)는(OEIS의 수열 A000170)에 등재되어 있다.
| n: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | .. | 24 | 25 | 26 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| unique: | 1 | 0 | 0 | 1 | 2 | 1 | 6 | 12 | 46 | 92 | 341 | 1,787 | 9,233 | 45,752 | .. | 28,439,272,956,934 | 275,986,683,743,434 | 2,789,712,466,510,289 |
| distinct: | 1 | 0 | 0 | 2 | 10 | 4 | 40 | 92 | 352 | 724 | 2,680 | 14,200 | 73,712 | 365,596 | .. | 227,514,171,973,736 | 2,207,893,435,808,352 | 22,317,699,616,364,044 |
연관 문제
[편집]- 다른 기물 사용
32개의 나이트, 14개의 비숍, 8개의 룩, 16개의 킹이 필요하다.
- 다른 판 모양
토러스형이나 원통형 조건에 대해 생각할 수 있다. 토러스에서는 폴리아의 연구에 의해 n이 6과 서로소일 때 nxn정사각형판에 n개의 퀸을 채울 수 있다.
풀이 프로그램
[편집]아래는 재귀적으로 해를 구성하는 C++ 코드이다.
#include <cm
#define MAX_SIZE 8
// 최대 MAX_SIZE queen 문제까지 해결할 수 있다.
using namespace std;
int board[MAX_SIZE];
// board[i]는 i번째 행에 퀸이 몇번째 열에 있는지 의미하는 변수이다. (행열은 서로 바뀌어도 된다.)
// 즉 board[0] = 3일때, (1,4) 혹은 (4,1) 위치에 퀸이 있다
int n;
int cnt;
void path(int y) {
// y는 현재 몇개의 퀸이 배치되었는지를 의미하는 변수다.
int ko;
if( y == n ) {
// n개의 퀸이 배치가 되었다면 이 경우는 답이다.
cnt++;
return;
}
for( int i=0; i<n; i++ ) {
// ko는 퀸이 배치될 수 있는지를 저장하는 플래그다.
ko = 1;
for( int j=0; j<y; j++ ) {
// 이미 배치가 끝난 퀸을 참고해서 i번째 칸에 퀸을 설치할 수 있는지를 확인한다.
if( board[j] == i || abs(y-j) == abs(i-board[j]) ) {
// j번째 줄에 있는 퀸과 같은 칸에 있거나, 대각선에 같은 곳에 있다면, i번째 칸에 대한 탐색을 중단한다.
ko = 0;
break;
}
}
if( ko ) {
// 여기까지 왔다면 y번째 줄에 i번째 칸에 퀸을 놔두는 것이 가능하다.
board[y] = i;
path(y+1);
}
}
}
int main() {
int k;
cin >> k;
while( k-- ) {
cin >> n;
cnt = 0;
path(0);
cout << cnt << '\n';
}
return 0;
}
아래 애니메이션을 보면 재귀적으로 해를 탐색하는 과정을 알 수 있다.
