Arithmetica modularis

Horologium tempus monstrat secundum modulum 12.

Arithmetica modularis est arithmetica numerorum integrorum ratio. Theoria arithmeticae modularis a Carolo Friderico Gauss in Disquisitionibus Arithmeticis (anno 1801) edita est.

Numeri integri a et b dicuntur congrui secundum m si differentia b - a per numerum m dividi potest (sive numerus m differentiam b - a metitur, sive (b - a)/m est integer). Modulum appellamus m, et congruentiam notatione $a\equiv b{\pmod {m}}$ denotamus.

Proprietates

Numeri congrui in arithmetica modulari sunt numeris aequalibus in arithmetica ordinaria similes:

${\textstyle a\equiv a}$
Si ${\textstyle a\equiv b}$ , erit ${\textstyle b\equiv a}$
Si ${\textstyle a\equiv b}$ et ${\textstyle b\equiv c}$ , erit ${\textstyle a\equiv c}$
Si ${\textstyle a\equiv b}$ et ${\textstyle c\equiv d}$ , erit ${\textstyle a+c\equiv b+d}$
Si ${\textstyle a\equiv b}$ et ${\textstyle c\equiv d}$ , erit ${\textstyle ac\equiv bd}$
Si ${\textstyle a\equiv b}$ , erit ${\textstyle a^{k}\equiv b^{k}}$ (ubi ${\textstyle k\geq 0}$ )

At si ${\textstyle ka\equiv kb{\pmod {m}}}$ , poterunt a et b esse incongrui.

Si autem ${\textstyle ka\equiv kb{\pmod {m}}}$ et k ad m est primus, erit ${\textstyle a\equiv b}$ .

Si ${\textstyle a\equiv b{\pmod {m}}}$ , poterunt ${\textstyle c^{a}}$ et ${\textstyle c^{b}}$ esse incongrui secundum modulum m.

Si autem ${\textstyle a\equiv b{\pmod {\varphi (m)}}}$ (ubi φ est Euleri functio φ) et c ad m est primus, erit quidem ${\textstyle c^{a}\equiv c^{b}{\pmod {m}}}$ (theorema Euleri).

Exemplum

Exempli causa, ponamus modulum 6; habemus ${\textstyle 5+8\equiv 1{\pmod {6}}}$ , quia 5 + 8 = 13, et 13 - 1 per 6 divisibilis est.

Secundum modulum 6, numeros hoc modo addimus:

Additio secundum modulum 6
+	0	1	2	3	4	5
0	0	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5	0
2	2	3	4	5	0	1
3	3	4	5	0	1	2
4	4	5	0	1	2	3
5	5	0	1	2	3	4

Etiam possumus multiplicare secundum modulum 6:

Multiplicatio secundum modulum 6
+	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5
2	2	4	0	2	4
3	3	0	3	0	3
4	4	2	0	4	2
5	5	4	3	2	1

Quod 6 est numerus compositus, habemus numeros a, b ut sit a × b ≡ 0: 2 × 3, 4 × 3. (Quod, sine modulo, 2 × 3 = 6 et 4 × 3 = 6 × 2: hoc est, 6 metitur 2 × 3 et 4 × 3.) Si autem modulus est numerus primus, integri secundum talem modulum sunt corpus.

Nexus externi

Vicimedia Communia plura habent quae ad arithmeticam modularem spectant.

De arithmetica modulari apud Wolfram MathWorld

Bibliographia

Gauss, Carolus Fridericus. 1801. Disquisitiones arithmeticae. Lipsiae: Fleischer. Retractatus Hildesheim: Olms-Wiedmann, 2006, cum introductione a Norbert Schappacher scripta.