Hilberto erdvė

Virpančios stygos būsena gali būti vaizduojama tašku Hilberto erdvėje. Stygos virpesių obertonai tuo atveju bus interpretuojami kaip to taško projekcijos į Hilberto erdvės koordinatines ašis

Hilberto erdvė, pavadinta Davido Hilberto garbei, apibendrina euklidinės erdvės sąvoką. Ji išplečia vektorių algebrą iš dviejų arba trijų matavimų euklidinėje erdvėje į daugelio matmenų ar net begalinmates erdves. Hilberto erdvė yra abstrakti vektorinė erdvė, kurioje yra apibrėžta skaliarinė sandauga, o tai leidžia joje įvesti vektoriaus ilgio ir kampo tarp jų sąvokas.

Hilberto erdvė dažnai naudojama matematikos, fizikos moksluose kaip begalinmatė funkcijų erdvė. Būtent nuo to šios abstrakčios erdvės tyrimus dvidešimto amžiaus pirmame dešimtmetyje pradėjo David Hilbert, Erhard Schmidt ir Frigyes Riesz. Hilberto erdvės naudojamos diferencialinių lygčių dalinėmis išvestinėmis, kvantinės mechanikos, Furjė analizės ir dinaminių sistemų tyrimuose. John von Neumann pirmasis įvedė apibendrinantį terminą "Hilberto erdvė" daugybei skirtingų šios erdvės teorinių taikymų. Neskaitant euklidinės erdvės, Hilberto erdvės pavyzdžiais gali būti kvadratinių integruojamų funkcijų erdvė, sekų erdvė, Sobolevo erdvė, Hardy holomorfinių funkcijų erdvė.

Geometrinė interpretacija yra svarbi naudojant Hilberto erdves. Pitagoro teorema, lygiagretainio taisyklė, projekcijos sąvokos yra ir Hilberto erdvėje. Kiekvienas Hilberto erdvės taškas, gali turėti ortogonalias, kaip ir Dekarto, koordinates. Tiesinis operatorius Hilberto erdvėje yra pakankamai akivaizdus objektas: kai kuriais atvejais tai tiesiog paprasta transformacija kuri deformuoja erdvę išilgai ortogonalių ašių. Savo ruožtu, tai leidžia taikyti matematinės spektrinės teorijos metodus.

Apibrėžimai ir pavyzdžiai

Pavyzdžiai: Euklidinė erdvė

Vienas žinomiausių pavyzdžių yra euklidinė erdvė susidedanti iš trijų dimensijų vektorių, iš R³ (realiųjų skaičių trimatė erdvė), su skaliarine sandauga. x ir y skaliarinės sandaugos rezultate gaunamas realusis skaičius x·y. Jei x ir y Dekarto koordinatės, tada skaliarinė sandauga apibrėžiama:

$(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot (y_{1},y_{2},y_{3})=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}.$

Skaliarinės sandaugos savybės:

1. Komutatyvi funkcija: x·y = y·x.
2. Tiesinė funkcija: (ax₁ + bx₂)·y = ax₁·y + bx₂·y visiems a, b, ir vektoriams x₁, x₂, ir y.
3. Teigiamai apibrėžta funkcija: visiems vektoriams x, x·x ≥ 0. Lygybė nuliui bus tada ir tik tada kai x = 0.

Jei vektoriaus ilgis (arba norma) yra žymimas ||x||, o kampas θ tarp x ir y, skaliarinė sandauga gali būti užrašoma $\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\|\mathbf {x} \|\,\|\mathbf {y} \|\,\cos \theta .$

Pilnumas reiškia, kad taškui judant išilgai baigtinės laužtės (mėlynos spalvos), pilnas poslinkis irgi bus baigtinis (oranžinės spalvos).

Euklidinė erdvė yra pilna. Vektorių eilutė konverguoja tada kai:

$\left\|\mathbf {L} -\sum _{k=0}^{N}\mathbf {x} _{k}\right\|\to 0\quad {\text{as }}N\to \infty .$

Apibrėžimai

Hilberto erdvėje H yra apibrėžta realiųjų arba kompleksinių skaičių skaliarinė sandauga, dėl to ji yra metrinė erdvė. Bendru atveju H yra kompleksinių vektorių erdvė su ⟨x,y⟩ su kiekviena elementų pora x,y iš H, tenkinančių savybes:

• ⟨y,x⟩ yra kompleksiškai jungtinis skaičius ⟨x,y⟩:

$\langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}.$

• ⟨x,y⟩ yra tiesinė funkcija su pirmuoju argumentu. Visiems kompleksiniams a ir b,

$\langle ax_{1}+bx_{2},y\rangle =a\langle x_{1},y\rangle +b\langle x_{2},y\rangle .$

• Skaliarinė sandauga teigiamai apibrėžta:

$\langle x,x\rangle \geq 0$,

kur lygybė galima tiktai kai x = 0.

Realioje erdvėje skaliarinė sandauga yra apibrėžta taip pat, tik H įgyja vertes realiųjų skaičių erdvėje.

Norma ⟨•,•⟩ yra realiosios vertės funkcija

$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }},$

ir atstumas tarp dviejų taškų x,y H yra apibrėžiamas taip:

$d(x,y)=\|x-y\|={\sqrt {\langle x-y,x-y\rangle }}.$

Atstumo funkcija turi savybes:

• x ir y atžvilgiu yra simetriška,
• atstumas tarp x ir x yra nulis nes kitu atveju kai x ir y skirtingi turi būti teigiamas
• trikampio nelygybė sako, jog ilgiausioji trikampio kraštinė nėra ilgesnė už likusių kraštinių ilgių sumą:

$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).$

Ši savybė išplaukia iš dar fundamentalesnės Koši-Švarco nelygybės, kuri teigia, kad

$|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\,\|y\|$,

o lygybė galioja tada ir tik tada kai x ir y yra tiesiškai priklausomi.

Kaip pilna normuota erdvė, Hilberto erdvė yra taip pat Banacho erdvė (tai yra vektorinė metrinė erdvė).

Antras pavyzdys: sekų erdvė

Sekų erdvė ℓ² susideda iš begalinės z = (z₁,z₂,...) kompleksinių skaičių sekos, tokios, kad eilutė

$\sum _{n=1}^{\infty }|z_{n}|^{2}$

konverguoja. Tuomet skaliarinė sandauga ℓ² apibrėžiama

$\langle \mathbf {z} ,\mathbf {w} \rangle =\sum _{n=1}^{\infty }z_{n}{\overline {w_{n}}},$

kuri taip pat konverguoja pagal Koši-Švarco nelygybę.