Tensore e' Riemman

Dint'â giometria differenziale, o' tensore e' Riemann è n' oggetto ca' codifice int'o modo cchiu' completo a' curvatura e' na' variètà riemanniana. O' tensore e' Riemann è nu' tensor e' tipo (1,3) ed è e' solito indicato (dint'â notazzione cu indice) ch"o simbolo

$R_{jkl}^{i}\,\!.$

Definizzione

Chiamiam M na' variètà differenziabìl cu na' connessione. O' tensore e' Riemann è o' campo tensorial R e' tipo (1,3) ca' soddisfa l"uguaglianze

$R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z.$

ppe ogne terna X,Y,Z e' campi vettorial su M. o' teorem e' Schwarz dice ca' dint'ô spazio euclideo e' derivate parzial song commutative: chisto fatto nun è vero in na' variètà cu na' connessione pigliate a caso, e o' tensore e' Riemnn tene conto dint'ô nu' certo senso e' chisto. E' primme duje termine dda' formule song infatte propeto e' derivazione commutate applicate a nu' campo Z; a' presenza ddo tierzo termine, ca' fa uso dda parentese e' Lie [,], è necessaria pecché R sia effettivament nu' tensore.