Magisch vierkant van Franklin

Met een magisch vierkant van Franklin wordt een van de magische vierkanten bedoeld die Benjamin Franklin in 1737 maakte. Het waren een van 8 bij 8 en een van 16 bij 16.

Weergave

Het magisch vierkant van Franklin van 8 bij 8 was:

52	61	4	13	20	29	36	45
14	3	62	51	46	35	30	19
53	60	5	12	21	28	37	44
11	6	59	54	43	38	27	22
55	58	7	10	23	26	39	42
9	8	57	56	41	40	25	24
50	63	2	15	18	31	34	47
16	1	64	49	48	33	32	17

Het magisch vierkant van 16 bij 16 was:

200	217	232	249	8	25	40	57	72	89	104	121	136	153	168	185
58	39	26	7	250	231	218	199	186	167	154	135	122	103	90	71
198	219	230	251	6	27	38	59	70	91	102	123	134	155	166	187
60	37	28	5	252	229	220	197	188	165	156	133	124	101	92	69
201	216	233	248	9	24	41	56	73	88	105	120	137	152	169	184
55	42	23	10	247	234	215	202	183	170	151	138	119	106	87	74
203	214	235	246	11	22	43	54	75	86	107	118	139	150	171	182
53	44	21	12	245	236	213	204	181	172	149	140	117	108	85	76
205	212	237	244	13	20	45	52	77	84	109	116	141	148	173	180
51	46	19	14	243	238	211	206	179	174	147	142	115	110	83	78
207	210	239	242	15	18	47	50	79	82	111	114	143	146	175	178
49	48	17	16	241	240	209	208	177	176	145	144	113	112	81	80
196	221	228	253	4	29	36	61	68	93	100	125	132	157	164	189
62	35	30	3	254	227	222	195	190	163	158	131	126	99	94	67
194	223	226	255	2	31	34	63	66	95	98	127	130	159	162	191
64	33	32	1	256	225	224	193	192	161	160	129	128	97	96	65

Eigenschappen

De som van de rijen en kolommen zijn telkens gelijk aan de magische constante;
De som van de halve rijen en kolommen zijn telkens gelijk aan de helft van de magische constante;
De sommen van de diagonalen zijn ongelijk aan elkaar en ongelijk aan de magische constante, dus strikt genomen is dit geen magisch vierkant;
Gebogen diagonalen, die halverwege van richting veranderen, zoals 16-63-57-10-23-40-34-17, zijn telkens gelijk aan de magische constante, ook als ze verschoven worden;
Elk vierkantje van 2 bij 2 heeft een vaste som, gelijk aan 4 maal de magische constante gedeeld door het aantal kolommen.

Magische vierkanten die deze eigenschappen hebben, worden bij uitbreiding ook magische vierkanten van Franklin genoemd. De zoektocht naar een magisch vierkant van Franklin van 12 bij 12 leverde het HSA-magisch vierkant op dat net niet een magisch vierkant van Franklin is. Inmiddels is door Cor Hurkens bewezen dat een magisch vierkant van Franklin van orde 4k voor elke k mogelijk is, behalve de ordes 4 (k=1) en 12 (k=3) (Hurkens, 2007).

Trivia

US Postal heeft in 2006 een postzegel uitgebracht waarop onder meer het magisch vierkant van Franklin van 8 bij 8 staat ter ere van diens 300e geboortedag.

Externe link

Kennislink: Franklin-vierkant van 12 bij 12 onmogelijk

Bronnen, noten en/of referenties

Essen, A. van den (2006) Magische vierkanten, van Lo Shu tot Sudoku, Diemen: Veen magazines.
Hurkens, C.A.J. (2007) Plenty of Franklin Magic Squares, but none of order 12 (intern report TUe).