Augustin Louis Cauchy

Augustin Louis Cauchy
	Augustin Louis Cauchy
	;
Fødd	21. august 1789; Paris
Død	23. mai 1857; Sceaux
Nasjonalitet	Frankrike
Område	matematisk analyse, geometri, matematikk, mekanikk, elastisitetsteori
Yrke	matematikar, ingeniør, fysikar, universitetslærar
Institusjonar	Universitetet i Paris; Universitetet i Torino
Alma mater	École des Ponts ParisTech; Lycée Henri IV; École polytechnique
Ektefelle	Aloise de Bure
Medlem	Royal Society; Société philomathique de Paris; Kungliga Vetenskapsakademien; Det franske vitskapsakademiet; Göttingens vitenskapsakademi; American Academy of Arts and Sciences; Det russiske vitskapsakademiet; Det prøyssiske vitskapsakademiet; Accademia Nazionale delle Scienze detta dei XL

Augustin Louis Cauchy [ogysˈtɛ̃ lwi koˈʃi] (fødd 21. august 1789 i Paris, død 23. mai 1857 i Sceaux) var ein fransk matematikar.

Cauchy var ein pioner innan analyse og vidareutvikla grunnlaget som var lagt av Leibniz og Newton; blant anna fann han formelle bevis for fleire fundamentale satsar. Spesielt i funksjonsteori stammar fleire sentrale teorem frå han. Hans nesten 800 publikasjonar dekte heile breidda av matematikken på den tida.

Etter Euler døydde hadde mange inntrykk av at matematikken var nesten fullt utforska og at det ikkje lenger var nokre vesentlege problem som gjenstod. Det var spesielt Gauss og Cauchy som motprova dette inntrykket.

Cauchy var ein streng katolikk og tilhengar av den franske herskarslekta bourbon. Under dei franske revolusjonane førte dette han i konflikt med mange av hans samtidige.

Liv

Faren til Cauchy, Louis-François, var ein strengt katolsk og kunnskapsrik rojalist. Ved storminga av Bastillen den 14. juli 1789 var han høgre handa til lieutenant Général Louis Thiroux de Crosne ved det parisiske politiet. De Crosne måtte like etter flykte til England, og Louis-François Cauchy mista stillinga si. Få veker seinare vart Augustin Louis fødd, midt under den franske revolusjonen. I april 1794 vende Thiroux tilbake; han vart arrestert og same dag dømd til døden. Louis-François flykta då med familien sin til landstaden sin ved Arcueil, der dei levde i svelt og fattigdom. Augustin Louis fekk grunnleggjande undervising av faren sin. Svolten og den farlege situasjonen skapte ein livslang motvilje mot revolusjon. Etter slutten av terrorveldet vende familien tilbake til Paris, Louis-François gjorde igjen karriere og vart generalsekretær ved senatet etter statskuppet til Napoleon. Det førte til eit nært venskap med den dåverande innanriksministeren Pierre-Simon Laplace og senatoren Joseph-Louis Lagrange, to viktige matematikarar. Dei oppdaga tidleg sonen sin matematiske talent, og Lagrange skal ha sagt:

Vous voyez ce petit jeune homme, eh bien! Il nous remplacera tous tant que nous sommes de géomètres («Ein dag vil denne guten overgå oss simple geometrar.»)

Han gav òg faren ei åtvaring:

Ikkje la dette barnet røre ei matematikkbok før han vert sytten. Om Dykk ikkje skundar Dykk og gjev han ei grundig litterær utdanning, så vil han berre utvikle sin tilbøyelegheit for matematikk endå lengre. Då vil han bli ein større matematikar, men knapt kunne skrive morsmålet sitt. (G. Kowalewski: Grosse Mathematiker, München-Berlin 1939)

Augustin Louis Cauchy hadde to yngre brør: Alexandre Laurent (1792–1857), som vart jurist som faren sin og gjekk inn i statsteneste, og Eugène François (1802–1877), som var forfattar.

Etter råd frå Lagrange studerte Cauchy dinest klassiske språk, noko som skulle førebu han på ei vidare matematikkutdanning. Frå 1802 gjekk han to år på École Centrale du Panthéon, der han spesielt utmerkte seg i latin. Deretter avgjorde han seg for å byrje på ein ingeniørkarriere, og tok matematikkundervisning frå 1804 som skulle førebu han på opptaksprøva på École Polytechnique. I 1805 vart han nest best på opptaksprøva som vart gjennomført av den franske matematikaren og fysikaren Jean-Baptiste Biot. École Polytechnique skulle utdanne ingeniørar for den offentlege tenesta i Frankrike og studentane måtte avgjere seg for ei spesiell retning. Cauchy valde gate- og brubygging. Utdanninga la vekt på matematikk. Blant lærarane fanst kjende namn som Lacroix, de Prony, Hachette og Ampère. Etter to år var Augustin-Louis duks og fekk lov til å fortsetje utdanninga ved École nationale des ponts et chaussées. Òg her var han blant dei beste, og under praksistida fekk han lov til å arbeide på Ourcq-kanalen under leiinga til Pierre Girard. I Paris var studentane alt anna enn upolitiske. Medan dei fleste var revolusjonært eller liberalt innstilt, gjekk Cauchy inn i kongregasjonen, som var den verdslege greina til jesuittane. Han vart verande medlem heilt til organisasjonen vart forbode i 1828. Etter to pliktår som student, forlét han universitetet i januar 1810 som «aspirant-ingénieur».

Napoleons ingeniør

I februar 1810 fekk Cauchy i oppdrag å hjelpe til ved bygginga av hamna Port Napoléon i Cherbourg, som den gongen var den største byggeplassen i Europa med rundt 3000 arbeidarar. Målet var å førebu seg på den engelske invasjonen. Arbeida var omfangsrike og i den avgrensa fritida si dreiv han med matematikk. Interessa hans for ingeniøryrket dabba raskt av, og han vedtok å slå inn på ein vitskapleg karriere. Cauchy hadde på dette tidspunktet ikkje noko mål om å bli matematikar. Den alminnelege oppfatninga etter Euler døydde var at dei vesentlege problema i matematikk var så godt som fullt løyst. Det viktige vart rekna å vere ingeniørvitskap og utforskinga av nye bruksområde for matematikk.

Medan han var i Cherbourg fann han ei generalisering av Eulers polyederteorem og eit bevis for eit teorem andsynes spurnaden om under kva for vilkår polyeder med like sideoverflater er identiske. Dette teoremet hadde allereie Euklid formulert i Elementa, men det hadde enno ikkje vorte bevist. Gjennom dette arbeidet fekk Cauchy eit namn i det akademiske samfunnet i Paris.

Sommaren 1812 forverra helsetilstanden hans seg sterkt. Cauchy hadde dårleg helse sidan barndomen og svolten i Arcueil, og lei til tider av depresjon. Den store arbeidsmengda i Cherbourg gjorde at han vart sjukemeldt i september og fekk løyve til å dra tilbake til familien sin i Paris. Då helsa hans forbetra seg, var han ikkje oppsett på å fortsetje og arbeide som ingeniør, og vigde seg i staden til forskinga. Inspirert av Lagrange-teoremet, såg han på gruppeteori og fann dessutan tre aksiom som eintydig definerer ein determinant.

Våren 1813 gjekk sjukemeldinga hans ut. Cauchy hadde i det heile ikkje lyst til å vende tilbake til Cherbourg. Då sytte den tidlegare læraren hans, Pierre Girard, for at han fekk høve til å fortsetje å arbeide på Ourcq-kanalen i Paris. I april gifta han seg med Aloise de Bure, dottera av ein respektert bokhandlar og forleggar. Dei fekk to døtrer, Marie Françoise Alicia og Marie Mathilde. Dette året bar ikkje forskinga hans særleg frukter. Rett nok fann han ein metode for å finne mengda løysingar av ei algebraisk likning av vilkårleg grad, men denne var særs upraktisk. Samstundes søkte han 50 stillingar på akademia i Paris utan suksess, til trass for dei gode sambanda til faren hans som han nytta seg av der han kunne. Dei vitskaplege kollegaene hans Ampère, Legendre, Poinsot og Molard fekk utnemningar, men ikkje Cauchy. Om sommaren lét Cauchy seg sjukemelde utan løn. Etter Napoleon sitt nederlag i 1814 vart Ourcq-kanalprosjektet avbrote og inga ny stilling vart utskrive for han. Dette året var òg byrjinga på arbeidet til Cauchy med komplekse funksjonar.

Professor ved École polytechnique

*Leçons sur le calcul différentiel*, 1829
(*«Leksjonar i differensialrekning»*)

Det endelege nederlaget til Napoleon i 1815 gav karrieren til Cauchy eit oppsving. Ludvig XVIII vart no konge av Frankrike, og med han kom reaksjonære krefter til makta. Som tru rojalist fekk far til Cauchy halde stillinga si òg under det nye regimet. Vitskapsmenn med politisk tvilsame haldningar, det vil seie revolusjonære, fekk no vanskelege vilkår. Slike problem hadde ikkje Augustin Louis som streng katolikk, og han fekk i november 1815 ei stilling som assistentprofessor ved École Polytechnique og alt i desember eit fullt professorat. I mars 1816 vart Académie des sciences omorganisert av kongen; to liberale medlemmar vart fjerna og dei ledige plassane gjeve til erkekonservative vitskapsmenn som Cauchy, som fekk plassen til Gaspard Monge.

Denne framferda gav han ingen venner. Sjølv om han etterkvart hadde fått eit særs godt rykte som matematikar og det ikkje var noko fagleg å utsetje på utnemninga hans, vart det sett på som ei politisk godtgjersle. I tillegg la ikkje Cauchy stor vekt på andre sine meiningar, spesielt i tilhøve til ikkje-katolikkar. Støttespelaren hans Lagrange hadde døydd i 1813, og han klarte å gjere Laplace til uven ved å omtale metodane til Laplace og Poisson som intuitive og for unøyaktige. Med Poisson, som arbeidde på eit særs likt felt, heldt han likevel eit godt arbeidsforhold, og dei samarbeidde ofte. Den einaste han hadde ein nær venskap med var Ampère, som òg var katolikk.

Som medlem av Akademiet var ein av pliktene til Cauchy å bedømme innsende vitskaplege arbeid. Han vigde mykje av tida si til dette, men ikkje alltid til glede for innsendaren. Abel skreiv: «Cauchy er forrykt, og ein kan ikkje gjere noko med det. Likevel er han for tida den einaste som veit korleis ein skal gjere matematikk.» Tilsvarande dårlege røynsler gjorde Galois og Poncelet. Det virkte òg som om Cauchy delvis hadde mista artiklane til unge vitskapsmenn, noko han ofte vart skulda for. Ostrogradski hadde derimot berre varme ord for Cauchy, som fleire gonger hadde kjøpt den unge russaren ut av gjeldsfengsel når han ikkje kunne betale husleiga si.

Som forelesar gjekk Cauchy til verks med stor iver. Han rekna analyse for å vere ein føresetnad for å meistre mekanikk og andre viktige ingeniørfag. På denne tida oppstod verket Cours d’analyse de l-en’École Polytechnique på grunnlag av forelesningane hans. Han la stor vekt på nøysemd i definisjonane og innførte mykje nytt materiale, som den nye definisjonen hans av derivasjon, basert på grenseverdiar og ikkje infinitesimalrekning. Dette likte ikkje studentane, som syntest at forelesningane til Cauchy var for abstrakte og for lite ingeniørorienterte. Dertil kom det at studentane, som områdande var liberale, av politiske grunnar ikkje var venlegsinna overfor rojalisten Cauchy; ein gong vart han til og med bua ut. Viktigare var det at reformene til Cauchy av pensumet ikkje vart teke vel imot av professorane, med unntak av Ampère, som støtta dei kraftig.

Eksil etter julirevolusjonen

I juli 1830 vart den reaksjonære kongen Karl X styrta og erstatta av den liberale borgarkongen Ludvig Filip. Studentane på École Polytechnique spelte ei ikkje uviktig rolle under gatekampane. Dette vart for mykje for Cauchy. I september forlét han byen og lét familien sin vere igjen. Først drog han til Sveits og Fribourg, ein av høgborgene til jesuittane. Å returnere til Frankrike no føresette ei truskapseid til det nye regimet, noko som ikkje kom på tale for han. Dermed hadde ikkje Cauchy anna val enn å leve i eksil fjernt frå familien sin. Han mista stillinga si og drog i 1831 til Torino, der han vart utnemnd til ein lærestol i teoretisk fysikk. Allereie i 1833 forlét han byen for å slutte seg til Karl X på Hradčany i Praha, og vart privatlærer for barnebarnet hans Henrik, hertugen av Bordeaux.

Karl X hadde abdisert i 1830 og erklært barnebarnet sitt til tronarving. Denne fekk difor frå det fjortande leveåret sitt krav på den franske trona. Difor var oppsedinga hans ei politisk sak, som òg vart følgt nøye i Frankrike, der einskilde adelege heller ville ha bourbonarane på trona enn Ludvig Filip. Cauchy vart på grunn av dei vitskaplege merittane sine og nærleiken hans til jesuittane vald til å undervise prinsen i matematikk og naturvitskapane, spesielt fysikk og kjemi. Han førebudde seg samvitsfullt til undervisningstimane, og dreiv i desse åra så godt som inga forsking. Òg her, som i Paris og Torino, viste han det manglande talentet sitt som lærar. Prinsen viste verken interesse eller dugleik for matematikk og forstod lite av det Cauchy fortalde han. Inntil det attande leveåret sitt, då utdanninga hans vart avslutta, utvikla han ein stor motvilje mot matematikk. Cauchy viste ingen autoritet som lærer, og den bortskjemde prinsen spøkte med han når han ønskte.

I 1834 henta Augustin Louis familien sin, som han i løpet av dei siste fire åra berre hadde sett ved dei sjeldne besøka sine i Paris. To år seinare drog følgjet til eksilkongen vidare til Görz, der prinsen feira den attande fødselsdagen sin. For Cauchy innebar dette slutten på livet sitt som privatlærer. Karl X lønna han for tenesta si med ein barontittel, som Cauchy frå då av la stor vekt på. På grunn av den dårlege helsa til mora hans, som førte til at ho døydde i 1839, vende han tilbake til Paris.

Ei offentleggjering kvar veke

Cauchy var no i den vanskelege stillinga at han på grunn av vegringa si for å avleggje truskapseid til kongen ikkje lenger hadde noko professorat. Rett nok var han framleis medlem av Académie des Sciences og kunne ta del i det vitskaplege livet og publisere, men han kunne ikkje søkja nye stillingar. Éit unntak var Bureau des Longitudes, der truskapseiden ikkje vart teke så nøye; han avgjorde seg difor for å søkja ei stilling der som nyleg var vorte ledig. På slutten av 1839 fekk han stillinga, men regjeringa sette seg på bakbeina: utan eid kunne han ikkje få ei formell stilling. Dei neste fire åra vart dette med overlegg ignorert av instituttet. Cauchy var no altså igjen professor, rett nok utan løn.

Med dette byrja den mest produktive perioden hans. I Praha hadde Cauchy offentleggjort så godt som inkje, men hadde derimot fundert mykje, og dei modne idene sine skreiv han no ned. Akademiet hadde oppretta eit tidsskrift Comptes Rendus, der medlemmane kunne publisere raskt. Dette nytta Cauchy seg av som ingen andre: mellom 1839 og februar 1848 offentleggjorde han over 300 artiklar. Viss ein tek med i rekninga at han ikkje forska i 1844, så vart det nesten éin artikkel i veka, noko som er ein utruleg frekvens. Han må ha oversumt dette tidsskriftet i så stor grad at dei i framtida avgrensa sidetalet per artikkel til fire.

I 1843 døydde Lacroix og dermed vart eit professorat ledig på Collège de France. Liouville, Cauchy og Libri søkte på stillinga, som Lacroix hadde innehatt og kor han ettertrykkeleg hadde bevist inkompetansen sin. Likevel hadde Libri ein stor fordel: dei politiske haldningane hans. Jesuittane freista på denne tida å få gjennomslag for førestillingane sine om undervisinga på dei franske universiteta, og altså avgrense undervisningsfridomen. Cauchy støtta dette ettertrykkeleg og med eigen innsats. Libri var derimot ein vedkjennande motstandar av jesuittane, og av denne årsaka vart Libri utnemnd til professor. Vondare vart det då ministeriet sette sluttstrek for engasjementa hans på Bureau des Longitude: Cauchy vart sett på dør, sidan han ikkje hadde avlagt truskapseiden. Det neste året vigde han til å støtte politikken til jesuittane.

Først februarrevolusjonen i 1848, som styrta borgarkongen Ludvig Filip, endra situasjonen hans.

Dei siste åra

Februarrevolusjonen førte ikkje, som Cauchy hadde håpt, den tidlegare eleven hans Henrik på trona, men derimot Napoléon III. Heller ikkje til han ville Cauchy sverje noko truskapseid. Men den nye regjeringa gjorde eit unntak for den største matematikaren i Frankrike, og i 1849 fekk han eit professorat. På privat hald var februarrevolusjonen eit hardt slag for familien Cauchy. Far til Augustin Louis og begge brørne hans, som sidan statskuppet til Napoelon hadde vore framståande embetsmenn og hadde overlevt kvart og eit regimeskifte, mista denne gongen stillingane sine. For Louis François Cauchy vart dette for mykje: han døydde i desember 1848.

I 1850 søkte Cauchy igjen på matematikkprofessoratet ved Collège de France – Libri hadde flykta. Liouville søkte likevel òg, og fekk stillinga. Det utspilte seg deretter ein stygg krangel mellom dei to. Cauchy ville ikkje akseptere nederlaget (den første avstemminga gav elleve stemmar for han, ti for Liouville og to blanke). Dei to byrja deretter òg ein vitskapleg strid: I 1851 presenterte Cauchy nokre resultat av Hermite om dobbeltperiodiske funksjonar og beviste dei ved hjelp av integralteoremet sitt. Liouville meinte at resultata direkte følgde av hans eige Liouvilles teorem. Motangrepet var tilintetgjerande: Cauchy viste at Liouvilles teorem kan bevisast særs enkelt ved integralteoremet.

Cauchy øvde ein stor innverknad på dei unge matematikarane i Frankrike: òg i dei siste åra sine, der han sterkt reduserte forskingsarbeidet sitt, evaluerte han mange innsende arbeid, og kom med rikeleg kritikk. Cauchy hadde dessutan i dei siste åra freista å få kollegaene sine tilbake til den katolske trua. Dette lukkast han med matematikaren Duhamel. Akkurat med han hamna han i desember 1856 i ein prioritetsstrid, som Ostrogradski oppklarte i favør av Duhamel. Cauchy nekta å erkjenne feilen, og vart dermed målskive for mange fiendtlege åtak, som overskygde dei siste månadane av livet hans.

Han døydde i 1857 i Sceaux i Paris, omgjeve av familien sin.

Virke

Cauchy sitt verk er formidabelt: Det omfattar nær 800 artiklar, og dessutan diverse bøker. Dei samla verka hans, Œuvres complètes, Paris, Gauthier-Villars, vart utgjeve i 27 bind i løpet av nesten 100 år i perioden 1882–1974.

Inspirasjon til forskinga si fekk Cauchy frå to kjelder: matematikkundervisninga og fysikk. Dei store matematikarane før han, som Euler og Lagrange, hadde arbeidd utan reine matematiske definisjonar, som i dag er sjølvsagde for matematikarar, og heller nytta si intuitive forståing av funksjonar, deriverbarheit og kontinuitet. Ved førebuinga av forelesningane sine, kom Cauchy over desse hola, og sette som førstemann den matematiske analysen på ein streng metodisk basis. Dette var ein av dei største vitskaplege føretaka hans, som er grunnen til at ein reknar han som ein av dei første moderne matematikarane.

Der ein tidlegare hadde argumentert nokså intuitivt med infinitesimale einingar, innførte Cauchy i forelesningane sine Cours d’analyse de l-en’École Polytechnique (1821) grenseverdiar til definisjonen av kontinuitet og deriverbarheit. Dette gjorde eksakte problemdefinisjonar og bevisføringa av dei nytta teoriane mogleg.

Tidsalderen for stringens og aritmetisering av analysen byrja med Cours d’Analyse. Berre omgrepet «uniform kontinuitet» mangla for å gje verket den siste finpussen. Utan å kjenne til dette omgrepet uttalte Cauchy det uriktige teoremet at konvergente følgjer av kontinuerlege funksjonar alltid har kontinuerlege grensefunksjonar (etter Reinhold Remmert, Funktionentheorie I, Springar-Verlag, 1984).

Ein stor del av dei vitskaplege bidraga til Cauchy finst i dei tre verka hans Cours d’analyse de l-en’École Polytechnique (1821), Exercises de mathématique (5 bind, 1826–30) og Exercises d’analyse et de physique mathématique (4 bind), som Cauchy hadde forfatta i ramma av sine forelesningar på École Polytechnique. Dei viktigaste bidraga i avhandlingane hans angår framfor alt følgjer og rekkjer, og dessutan komplekse funksjonar.

Cours d’Analyse de l’Ecole Royale Polytechnique	Forelesningar om analyse ved den kongelege polytekniske høgskulen
Première Partie	Første del
Analyse algébrique	Algebraisk analyse
1. Des fonctions réelles.	1. Reelle funksjonar
2. Des quantités infiniment petites ou infiniment grandes, et de la continuité des fonctions. Valeurs singulières des fonctions dans quelques cas particuliers.	2. Uendeleg små eller uendeleg store storleikar. Singulære funksjonsverdiar i bestemte tilfelle.
3. Des fonctions symétriques et des fonctions alternées. Usage de ces fonctions pour la résolution des équations du premier degré à un nombre quelconque d’inconnues. Des fonctions homogènes.	3. Symmetriske og alternerande funksjonar. Bruken av desse funksjonene for løysinga av førstegradslikningar med fleire ukjente. Homogene funksjonar.
4. Détermination des fonctions entières, d’après un certain nombre de valeurs particulières supposées connues. Applications.	4. Fullstendig avgjersle av heile funksjonar, ved visse kjende funksjonsverdiar. Brukskområde.
5. Détermination des fonctions continues d’une seule variable propres à vérifier certaines conditions.	5. Avgjersle av kontinuerlege funksjonar med éin variabel med omsyn til bestemte vilkår.
6. Des séries (réelles) convergentes et divergentes. Règles sur la convergence des séries. Sommation de quelques séries convergentes.	6. Reelle divergente og konvergente rekkjer. Konvergensreglar for rekkjer. Summasjon av utvalde konvergente rekkejr.
7. Des expressions imaginaires et de leurs modules.	7. Komplekse uttrykk og modulusen deira.
8. Des variables et des fonctions imaginaires.	8. Komplekse variablar og funksjonar.
9. Des séries imaginaires convergentes et divergentes. Sommation de quelques séries imaginaires convergentes. Notations employées pour représenter quelques fonctions imaginaires auxquelles on se trouve conduit par la sommation de ces mêmes séries.	9. Komplekse konvergente og divergente rekkjer. Summasjon av utvalde konvergente komplekse rekkjer. Anvendt notasjon for å representere bestemte komplekse funksjonar som opptrer ved rekkesummasjon.
10. Sur les racines réelles ou imaginaires des équations algébriques dont le premier membre est une fonction rationnelle eit entière d’une seule variable. Résolution de quelques équations de cette espèce par l’algèbre ou la trigonométrie.	10. Reelle eller komplekse røter til algebraiske likningar, viss første ledd er ein heil rasjonal funksjon med éin variabel. Algebraisk eller trigonometrisk løysing av slike likingar.
11. Décomposition des fractions rationnelles.	11. Dekomposisjon av rasjonale brøkar.
12. Des séries récurrentes.	12. Rekursive følgjer.

Følgjer og rekkjer

Cauchy utvikla mange viktige konvergenskriterium for følgjer og rekkjer.

Av grunnleggjande tyding for teorien om følgjer og rekkjer er omgrepet cauchyfølgje. I Cours d’analyse beviste Cauchy det såkalla cauchykriteriet. Eit ordentleg bevis for at cauchyfølgjer konvergerer i R gav han likevel ikkje. Bolzano hadde bevist allereie i 1817 at grenseverdien til ei cauchyfølgje må vere eintydig avgjort, men det virkar som om både Bolzano og Cauchy føresette at denne grenseverdien eksisterer i R. Denne mangelen vart først retta opp i teorien om dei reelle tala som vart foreslått av Heine og Cantor, der R vert definert som mengda av ekvivalensklassane av cauchyfølgjer.

Cauchy viste konvergensen til geometriske rekkjer og utleia derav kvotientkriteriet og rotkriteriet. Det sistnemnde kriteriet seier at ei rekkje av reelle tal konvergerer viss n-te-rota av den n-te summanden er mindre enn eit tal som er mindre enn 1, for alle n større enn eit gjeve tal N.

Cauchy-Hadamard-formelen følgjer ein liknande idé som kan nyttast å avgjere konvergensradien til ei potensrekkje. Han bereknar den øvre grenseverdien til to på kvarandre følgjande koeffisientar av potensrekkja.

Cauchys grenseverditeorem seier at det aritmetiske gjennomsnittet av elementa i ei konvergent følgje går mot grenseverdien til følgja.

I rekkjeproduktsatsen beviste han at Cauchy-produktet av to konvergente rekkjer under visse vilkår òg konvergerer. Dette beviset vert ofte brukt i konvergensanalysen av potensrekkjer.

I tillegg til rekkjeproduktsatsen kom Cauchy fram til fleire andre erkjenningar om potensrekkjer. Først og fremst var han den første til å bevise Taylor-teoremet med formell stringens og utvikla i denne samanhengen Cauchy-restleddet til ei taylorrekkje.

Han var òg den første som gav eit strengt bevis for konvergensen til følgja $\textstyle (1+{\frac {1}{n}})^{n}$ , som konvergerer mot e; denne følgja vart først undersøkt av Euler.

Differential- og integralrekning

I Cours d’Analyse finn ein Cauchy sin definisjon av den deriverte som ein grenseverdi. Hans samtidige Lagrange og Laplace hadde definert den deriverte ved hjelp av taylorrrekkjer, då dei antok at ein kontinuerleg funksjon kan representerast på ein eintydig måte av ei uendeleg taylorrekkje. Den deriverte var då ganske enkelt den andre koeffisienten til denne rekkja. Denne førehandstrua vart motprova av Cauchy.

I integralrekninga var òg Cauchy den første (òg i Cours d’Analyse) til å gje ein definisjon ved hjelp av ein grenseverdiprosess, der integrasjonsintervallet vert inndelt i mindre og mindre delintervall og lengda til eit delintervall vert multiplisert med funksjonsverdien på byrjinga av dette intervallet.

Funksjonsteori og differensiallikningar

Cauchy sin innsats på området for funksjonsteori, det vil seie studiet av komplekse funksjonar, var banebrytande. Euler og Laplace hadde allereie brukt dei komplekse tala på ein intuitiv måte til å rekne ut reelle integral, men utan å kunne rettferdiggjere denne framgangsmåten med eit stringent bevis. Laplace fekk Cauchy til å interessere seg for desse metodane, og i 1814 byrja han systematisk å setje seg inn i komplekse funksjonar. I Cours d’Analyse var han den første som formelt definerte ein funksjon med komplekse variablar, og var faktisk til rundt 1840 den einaste som dreiv med funksjonsteori.

I den kjende artikkelen hans Sur least intégrales définies frå 1814 byrja han å integrere reelle funksjonar over rektangel i det komplekse talplanet for å rekne ut reelle integral. Her dukkar Cauchy-Riemanns likningar opp for første gongen, som knyter kompleks deriverbarheit med partielle differensiallikningar: Ein kompleks funksjon er kompleks deriverbar viss og berre viss dei tilfredsstiller Cauchy-Riemanns likningar. Eit bevis for Cauchys integralteorem for rektangel følgjer. Til slutt i artikkelen handsamar han tilfellet at funksjonen har simple polar, og han inneheld residualsatsen for integrasjon over eit rektangel.

Desse ideane følgde han vidare dei neste ti åra, og han generaliserte dei til vilkårlege integrasjonskurver. (Han gjekk her ut frå at Jordans kurveteorem gjeld.) Vidare stilte han Poissons metode til å rekne ut eit reelt integral over ein pol ved å bruke det komplekse planet, på trygg grunn.

Alle holomorfe funksjonar kan deriverast uendeleg mange gonger, ved hjelp av Cauchys integralformel. Ved hjelp av desse deriverte kan ein uttrykkje holomorfe funksjonar som potensrekkjer.

Med Cauchys majorantmetode kan ein undersøkja eksistensen av løysingane til differensiallikningar der ein holomorf funksjon finst på høgre sida av likskapsteiknet. Grunnlaget for dette er løysinga si potensrekkjeutvikling.

Cauchy undersøkte òg vanlege differensiallikningar og gav ein løysningsmetode for lineære system med konstante koeffisientar, som baserte seg på Fourier-transformasjonar og hans residualsats. Ved hjelp av Eulers polygonmetode fann han òg eit enkelt eksistensbevis. Etter han er òg Cauchy-problemet oppkalla; det er initialverdiproblem, der ein ynskjer å finne løysingane i heile domenet.

Funksjonallikningar

I kapittel 5 av hans Analyse algébrique undersøkte Cauchy dei fire funksjonallikningane

{\begin{aligned}\Phi (x+y)&=\Phi (x)+\Phi (y)\\\Phi (x+y)&=\Phi (x)\cdot \Phi (y)\\\Phi (x\cdot y)&=\Phi (x)+\Phi (y)\\\Phi (x\cdot y)&=\Phi (x)\cdot \Phi (y)\end{aligned}}

og beviste at dei kontinuerlege løysingane er på forma $\Phi (x)=ax\;$ , $\Phi (x)=a^{x}\;$ (med positiv $a\;$ ), $\Phi (x)=a\log x\;$ og $\Phi (x)=x^{a}\;$ . Den første av desse funksjonallikningane har sidan fått namnet Cauchys funksjonallikning.

Bidrag til fysikk

Cauchy gav òg viktige bidrag til fysikken. Spesielt har forskinga hans på elastisitet vore grunnleggjande òg for bruksområde i dag. Han utvikla spenningstensoren til ein kube, der spenninga til eit punkt i ein elastisk lekam kan skildrast fullt ved hjelp av dei ni karakteristiske tala til spenningstensoren. Cauchy-talet gjev tilhøvet mellom tregleikskrafta og den elastiske krafta i ein lekam. To lekamar har same elastisitetseigenskapar viss og berre viss dei har same Cauchy-tal. Tydinga av dette ligg i at ein med denne modellen kan undersøkja stabiliteten til byggverk. Dei teoretiske erkjenningane til Cauchy i elastisitetsteori gjorde den omfangsrike forskinga til Navier på École Polytechnique om brubygging mogleg.

I samanheng med elastisitetsteorien står òg forskinga til Cauchy andsynes ljos. På denne tida ynskte ein å undersøkja vesenet til lysbølgjene ved hjelp av dispersjon, det vil seie utbreiingssnøggleiken til ljoset – som avheng av bølgjelengda – når det går gjennom eit prisme. Cauchy hadde allereie i 1815 undersøkt bølgjelikningar og hadde først og fremst drive med studiet av elastisitet ved hjelp av lineære partielle differensiallikningar, noko han kunne bruke til undersøkinga av lysbølgjer. Ein gjekk ut frå at rommet måtte vere fylt med eit flytande medium, kalla eter, som bølgjene breidde seg utover i. Tilfeldigvis gav denne forskinga i det vesentlege dei same resultata som dagens relativitetsteori. Ved hjelp av denne forskinga utleidde Cauchy empirisk ein enkel samanheng mellom brytningsindeksen til prismet og bølgjelengda til ljoset.

Andre oppdagingar

Cauchy-fordelinga, eller òg t-fordelinga med éin fridomsgrad, utmerkar seg ved at han ikkje har nokre moment: integralet til forventningsverdien konvergerer ikkje.

Cauchy–Schwarz-ulikskapen gjev at absoluttverdien til skalarproduktet til to vektorar ikkje er større enn produktet av vektornorma. Dette resultatet tener blant anna som basis for korrelasjonskoeffisienten i statistikk.

Eit verdifullt bidrag til sannsynsteori er prinsippet om konvergens med sannsyn 1; ei følgje av stokastiske variablar kan konvergere mot ein annan stokastisk variabel med dette sannsynet.

Kjelder

Denne artikkelen bygger på «Augustin Louis Cauchy» frå Wikipedia på bokmål, den 30. oktober 2011.
- Wikipedia på bokmål oppgav desse kjeldene:
Bruno Belhoste: Augustin-Louis Cauchy. A biography. Springer, New York 1991, ISBN 3-540-97220-X
Siegfried Gottwald u.a. (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. Deutsch, Frankfurt/M. 2006, ISBN 3-8171-1729-9
Dieter Hoffmann u.a. (Hrsg.): Lexikon der bedeutenden Naturwissenschaftler (1 CD-ROM). Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2004, ISBN 3-8274-0403-7
Detlef D. Spalt: Die Vernunft im Cauchy-Mythos. Deutsch, Frankfurt/M. 1996, ISBN 3-8171-1480-X (zu modernen Begriffsproblemen, wie Zahlgrößen, Kontinuität, etc. und u.a. eine virtuelle Diskussionen mit den verstorbenen Mathematikern Niels Henrik Abel und Richard Dedekind)

Bakgrunnsstoff

Biografi på matematikk.org^{[daud lenkje]}
Augustin Louis Cauchy hos Mathematics Genealogy Project
Biografi hos MacTutor (engelsk)
Biografi hos BibMath Arkivert 2008-09-30 ved Wayback Machine. (fransk)
Biografi hos det katolske Seton Hall University
Gallica Her kan hans samlede verker lastes ned.