Kepler-lovene

Kepler fann at kvar planet går i ein ellipsebane med sola i det eine brennpunktet til ellipsen.

Kepler-lovene er tre lover som skildrar rørsla til planetane omkring sola. Dei vart funne og formulert av Johannes Kepler ved nøyaktig studium av planetrørslene og på grunnlag av observasjonane til Tycho Brahe.

1. Planetane flyttar seg i ellipsar med sola i det eine brennpunktet.
2. Ei rett linje frå sola til planeten, radiusvektor, skildrar like store flater i like lange tidsrom. Dette vert kalla flatesatsen til Kepler.
3. Kvadratet av den sideriske omlaupstid for ein planet er proporsjonalt med tredje potens av den midlare avstanden til planeten frå sola.

Isaac Newton fann 50 år seinare at desse lovene kan utleiast av gravitasjonslova, den tredje lova i ein litt modifisert form. Den eksakte formulering er: Kvadratet av den sideriske omlaupstida er proporsjonalt med tredje potens av middelavstanden og omvendt proporsjonalt med summen av massane til sola og planeten. Relativitetsteorien innfører små endringar i lovene.

Kepler-rørsle

Godta at planeten har masse m og rører berre seg påverka av gravitasjonskrafta frå sola med masse M. Då er den potensielle energien til planeten V = - GmM/r der G er gravitasjonskonstanten. Denne avheng berre av avstanden r og er difor den same i alle punkt rundt sola med same avstand til denne. Rørsla skjer då i eit plan normalt til dreieimpulsen L = r×p der p er impulsen til planeten. Det er då føremålstenleg å nytta polarkoordinatar (r,θ) i dette planet slik at den kinetiske energien kan skrivast som

$T={m \over 2}{\Big (}{\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}{\Big )}$

Med desse koordinatane er no

$L=mr^{2}{\dot {\theta }}$

det konstante impulsmomentet. Ved bruk av Lagrangemekanikk ville ein ha forklart dette ved at vinkelen θ er ein syklisk variabel då han ikkje opptrer i uttrykket for energien til planeten.

Den totale energien til planeten

$E={m \over 2}{\Big (}{\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}{\Big )}-m{GM \over r}$

er òg konstant for rørsla. Det kan no brukast til å finne likninga r = r(θ) for banen til planeten. Det vert gjort enklast ved å bruka den konstante dreieimpulsen til å skriva den tidsderiverte som

${d \over dt}={\lambda \over r^{2}}{d \over d\theta }$

etter å ha innført den spesifikke dreieimpulsen λ = L/m. I tillegg er det føremålstenleg å nytta den inverse radialavstand u = 1/r som avhengig variabel. Då vert

${\dot {r}}={d \over dt}\left({1 \over u}\right)=\lambda u^{2}{d \over d\theta }\left({1 \over u}\right)=-\lambda {du \over d\theta }$

Nyttast denne omskrivninga i uttrykket for energien, tek den likninga den nye forma

$2\varepsilon =\lambda ^{2}(u'^{2}+u^{2})-2GMu$

etter å ha innført den spesifikke energien ε = E/m og kor u' = du/dθ. Deriverer vi no begge sidene her med omsyn på vinkelen θ, gjev venstresida null då energien til planeten er ein konstant. Høgresida gjev då ein andre ordens differensiallikning

${d^{2}u \over d\theta ^{2}}+u={GM \over \lambda ^{2}}$

Ei løysing er opplagt u = GM/λ² som tilsvarer rørsle i ein sirkel. Dette spesielle tilfellet ser vi mellombels bort frå.

Viss høgresida var null, ville løysinga av differensiallikninga vera ei oscillerande rørsle u = u₀cos(θ - θ₀) der u₀ og θ₀ er integrasjonskonstantar. Men her er høgresida ein positiv konstant slik at den generelle løysinga vert u = u₀cos(θ - θ₀) + GM/λ². Går ein så tilbake til den opphavlege koordinaten r = 1/u, finn ein at banen er gjeven ved likninga

$r={p \over 1+e\cos(\theta -\theta _{0})}$

som skildrar eit kjeglesnitt. Konstanten p = λ²/GM er semi latus rectum og e = u₀/p er eksentrisiteten for banen. Denne kan finnast ved å setja denne løysinga inn i uttrykket for energien. Det gjev at

$e={\sqrt {1+2\varepsilon \!\left({\lambda \over GM}\right)^{2}}}$

Når energien ε > 0 er difor e > 1 og banen er ein hyperbel, medan for ε < 0 vert e < 1 og banen er ein ellipse. I det spesielle tilfellet at energien ε = 0 degenerer denne til ein sirkel som har null eksentrisitet.

Newtons gravitasjonslov har same form som Coulomblova for krafta mellom to elektriske ladningar. Har desse motsett forteikn, er den elektriske krafta tiltrekkjande og begge ladningane vil kunna ha ei bunden Kepler-rørsle i ein ellipse. Denne eigenskapen ligg bak Bohrs atommodell. Men for ladningar med same forteikn er krafta fråstøytande, og den gjensidige rørsla deira vil berre ha positiv energi. Difor er eksentrisiteten e > 1 slik at banen alltid må vera ein hyperbel. Dette er relevant i forklaringa av Rutherford sitt gullfolieeksperiment med spreiing av positiv ladde α - partiklar på positive ladde atomkjernar.

Dei tre lovene til Kepler

Basert på observasjonane sine av planeten Mars som han hadde gjort som assistent for Tycho Brahe, publiserte Kepler sine to første lovar i 1609 i verket sitt Astronomia Nova. Ti år seinare formulerte han den tredje lova si i det nye verket Harmonices Mundi.

Første lov

Ellipsen framstelt i polarkoordinatar (r, θ) med sentrum i høgre brennpunkt der sola er. I figuren er a den store halvaksen og b den vesle halvaksen, medan p er semi latus rectum. Når θ = 0° vert r = r_min og planeten er i perihelium. Det motsette tilfellet med θ = 180° er planeten sitt aphelium med r = r_max.

Planeten rører seg i ein ellipse som er nærast sola for θ = θ₀. Det er føremålstenleg å leggja koordinatsystemet slik at θ₀ = 0 . Då er ellipsen skildra ved likninga

$r={\frac {p}{1+e\cos \theta }}$

slik at for θ = 90° vert r = p som vist i figuren ved sida av.

Når θ = 0 er planeten i sitt perihelium (næraste sola) ved minimumavstanden

$r_{\mathrm {min} }={\frac {p}{1+e}}$

medan han for θ = 180° er ved sitt aphelium (lengst frå sola) ved maksimumavstanden

$r_{\mathrm {max} }={\frac {p}{1-e}}$

Den store halvaksen er det aritmetiske gjennomsnittet mellom r_min og r_max,

$a={\frac {p}{1-e^{2}}}$

og den vesle halvaksen er det geometriske gjennomsnittet

$b={\frac {p}{\sqrt {1-e^{2}}}}$.

Av dette følgjer at b² = ap.

Andre lov

Den andre lova til Kepler seier at dei skraverte areala skal vera like store viss dei er tilbakelagd i same tid.

Den andre lova seier at baneradiusen sveiper ut like store areal i løpet av like lang tid. Denne loven er òg kjend som lova om like areal.

Om vi antek at ein planet brukar ein dag på å røra seg frå punkt A til B, vil linjene frå sola til A og B som vist i figuren, utgjera ein vinkelsektor. Keplers andre lov seier at arealet av denne vinkelsektoren vil vera like stort som arealet av sektoren som vert danna mellom sola og C og D, dersom det òg tek ein dag for planeten å røra frå seg C til D.

Etter eit kort tidsinterval gjeven ved differensialet dt, vil vinkelsektoren få eit tillegg frå ein liten trekant som har sider r og rdθ. Han har arealet da = (1/2)r²dθ slik at flatefarten vert

${da \over dt}={1 \over 2}r^{2}{\dot {\theta }}={L \over 2m}$

Då dreieimpulsen L er konstant, vil òg denne farten vera konstant og Keplers andre lov er bevist.

Planeten får altså større fare jo nærare sola han kjem. Dette kjem av at sola sitt tyngdefelt akselererer planeten medan han nærmar seg mot sola, og bremsar han medan han rører seg bort frå sola. Kepler kjende likevel ikkje til denne fysiske forklaringa av fenomenet, han berre fastslo at det var slik det skjedde og skildra det matematisk.

Dei to lovane gav Kepler høvet til å rekne ut posisjonen til ein planet ut frå tida t som var gått sidan planeten var i sitt perihelion, og omlaupstida T. Utrekningane kan gjerast i fire trinn:

1 . Rekn ut den midlare anomalien M frå formelen

$M={\frac {2\pi t}{T}}$

2 . Rekn ut den eksentriske anomalien E ved å numerisk løysa Kepler-likninga

$\ M=E-e\sin E$

3 . Rekn ut vinkelen θ som er den sanne anomalien, frå likninga

$\tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\cdot \tan {\frac {E}{2}}$

4 . Rekn ut den heliosentriske avstanden r frå den første lova

$r={\frac {p}{1+e\cos \theta }}$

Det var ved ein liknande prosess at Kepler kom fram til sine epokegjerande oppdagingar.

Tredje lov

Illustrasjon av dei tre Kepler-lovene med to planetar i omløp. (1) Banane er ellipsar, med fokuspunkt f1 og f2 for den første planeten og f1 og f3 for den andre planeten. Sola er plassert fokuspunktet f1. (2) Dei to skuggelagde segmenta A1 og A2 har den same overflata, og tida det tek for planet 1 å dekka segmentet A1 er like tida det tek å dekka A2. (3) Den totale omlaupstida for planet 1 og planet 2 har tilhøvet (a1/a2)^3/2.

Den tredje loven seier at tilhøvet mellom kvadratet av omlaupstida T og middelavstanden a frå sola i tredje potens er det same for alle planetar som går i bane rundt det same lekamen:

$T^{2}\propto a^{3}$

Denne loven kan bevisast ved å nytta at planeten i løpet av omlaupstida T skildrar ein full ellipse med areal A = π ab. Men frå den konstante arealfarten følgjer at dette er òg gjeve som A = λT/2. Setjast desse to uttrykka lik kvarandre, får ein

$\pi ^{2}a^{2}b^{2}=\left({\lambda \over 2}\right)^{2}T^{2}$

ved å kvadrera begge sidene. Samstundes har ein den geometriske samanhengen b² = a p, som vart tidlegare utleidd, kor no p = λ²/GM. Dermed vert resultatet

$4\pi ^{2}a^{3}=GMT^{2}$

som er Keplers tredje lov. Tilhøvet T²/a³ har altså same verdi for alle planetar i solsystemet. Ved å innføra vinkelfarten ω = 2π/T for det periodiske omløpet, kan denne lova òg skrivast som ω²a³ = GM.

Kepler-lovene gjeld for alle bundne planetar eller stjerner som rører seg om ein sentral masse. Spesielt kan den tredje lova brukast til å påvisa nye massar i universet. Ved å observere korleis stjerner rører seg rundt ulike galaksar kan ein utor omlaupstder T for ei stjerne og avstanden til stjerna frå sentrum avgjera massen M innanfor banen. Det var slike observasjonar Vera Rubin gjorde og som først påviste eksistensen av ny, usynleg masse som måtte vera der i dei fleste galaksane. Dette kan vere ukjend, mørk materie. Vidare kan ein studere korleis stjernene rører seg i sentrum av vår eigen galakse. Dei roterer rundt eitkvart med ein masse som svarar til fleire millionar gonger massen til sola. Mest truleg er dette eit supermassivt svart hòl.

Kjelder

• «Keplers lover», Store norske leksikon, 14. februar 2009, henta 13. august 2014 

• Denne artikkelen bygger på «Keplers lover» frå Wikipedia på bokmål, den 20. juni 2016.