Sirkel

En sirkel er en plan lukket kurve der alle kurvepunktene ligger like langt fra et fast punkt, kalt sentrum. Alternativt brukes begrepet også for å omtale arealet innenfor en slik kurve.

Alternativt kan en sirkel defineres som det geometriske sted for punkt i planet som ligger i en konstant avstand fra et gitt punkt. Sirkelen er også et spesialtilfelle av en ellipse, der de to brennpunktene i ellipsen er lokalisert i ett og samme punkt. Som ellipsen tilhører derfor sirkelen kjeglesnittene.

Sirkelen har vært betraktet som en perfekt matematisk figur og har vært gjenstand for oppmerksomhet og beundring helt fra oldtiden. Matematiske arbeid med sirkelen finner en så tidlig som i Babylonia og i gamle Egypt. Etter tradisjonen skal den greske filosofen og matematikeren Arkimedes ha latt falle utsagnet «Ikke rør mine sirkler» like før han ble drept av en romersk soldat. Sirkler har gjennom tidene også vært brukt i ritualer knyttet til religion, trolldom og magi.

Ordet sirkel blir i dagligtale brukt i mange sammenhenger der noe har egenskaper som minner om den matematiske sirkelen. Eksempler på dette er «lesesirkel», «sirkeltrening» og «politikkens innerste sirkler».

Terminologi

Sirkelens diameter er et linjesegment gjennom sentrum mellom to punkter på sirkelen, men «diameter» blir også brukt for å betegne lengden av dette linjesegmentet. Tilsvarende er en radius et linjesegment fra sentrum til et punkt på sirkelen, eventuelt lengden av dette linjesegmentet.

En del av en kurve karakteriseres som en (sirkel)bue. En halvsirkel er en sirkelbue mellom to punkt som ligger på samme diameter. En kvartsirkel er en fjerdedel av en sirkel. En enhetssirkel er en sirkel med radius lik 1.

En korde er et linjesegment mellom to punkt på sirkelen, mens en sekant er en linje gjennom to punkt på sirkelen. Området mellom sirkelbuen og en korde kalles for et sirkelsegment. En tangent har ett og kun ett punkt felles med sirkelen.

En sirkelsektor er et område i planet, avgrenset av to radier og en sirkelbue.

Ordet sirkelflate brukes når en ønsker å poengtere arealet innenfor sirkelkurven. Når «sirkel» brukes for å omtale arealet innenfor kurven, så omtales selve kurven som omkretsen eller periferien. «Omkretsen» blir også brukt for å betegne lengden av sirkelkurven.

En sentralvinkel er en vinkel som har topp-punktet i sentrum av en sirkel, med vinkelbein som går ut til sirkelperifierien. En periferivinkel har topp-punktet liggende på perifierien og vinkelbein som også går ut til sirkelperiferien.

Omkrets og areal

Forholdet mellom omkretsen i en sirkel og diameteren er lik π (pi), et irrasjonalt tall tilnærmet lik 3,141592654. Lengden av omkretsen O kan derfor uttrykkes som

$O=\pi D=2\pi R,\,$

der D er diameteren og R radien.

Arealet A av området innenfor sirkelen er gitt ved formelen

$A=\pi R^{2}.\,$

Integrasjonsbevis av formelen for en sirkels areal:

Gitt at $O_{sirkel}$ er en sirkels overflateareal ved formelen: $O_{sirkel}=2*\pi *r$

dA er arealet til en liten ring. O_sirkel er ringens omkrets, mens dr er ringens bredde.

$dA=O_{sirkel}*dr$

$dA=2*\pi *r*dr$

Ved å summere ringenes areal ut fra og med 0 til og med radiusen, får man en sirkels areal. Dette gjøres således ved integrasjon:

$A_{sirkel}=\int \limits _{0}^{r}2*\pi *r\,dr$

$A_{sirkel}=\pi *r*\int \limits _{0}^{r}r\,dr$

$A_{sirkel}=2*\pi \left[{\frac {1}{2}}r^{2}\right]_{0}^{r}$

$A_{sirkel}=2*{\frac {1}{2}}*\pi *\left[r^{2}\right]_{0}^{r}$

$A_{\text{sirkel}}=\pi \left[r^{2}\right]_{0}^{r}$

$A_{sirkel}=\pi r^{2}$

Ligning for en sirkel

Sirkel med radius R = 1, sentrum (a, b) = (1.2, −0.5)

Det eksisterer en lang rekke former for ligningen til en sirkel.

Kartesiske koordinater

I et kartesisk koordinatsystem (x,y) er ligningen for en sirkel med sentrum i (a,b) og radius R gitt ved

$\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=R^{2}.$

Ligningen følger fra Pythagoras’ læresetning, som vist på figuren til høyre: Radien er hypotenusen i en rettvinklet trekant der katetene har lengde henholdsvis x − a og y − b.

Ved å definere to vektorer i planet r = (x,y) og r₀ = (a,b), så kan ligningen for sirkelen skrives på formen

$d(r,r_{0})=R\,$

der d( , ) er den euklidske metrikken.

Med sentrum i origo (0,0) blir formelen for sirkelen

$x^{2}+y^{2}=R^{2}.\,$

Sirkel gjennom gitte punkt

For å konstruere en sirkel, behøver man i alminnelighet tre gitte punkter. Et av punktene kan velges som sentrum, mens avstanden mellom de to andre kan tas som radius.

Alternativt kan man konstruere en sirkel som går gjennom disse tre punktene såfremt de ikke ligger på en linje. Forbindes punktene med to linjestykker, vil disse da være korder i sirkelen. Konstruerer man så midtnormalen til hvert av linjestykkene, vil disse skjære hverandre i et punkt som er sirkelens sentrum.

Likedan kan en sirkel konstrueres ut fra kun to gitte punkt. For eksempel kan det ene punktet velges som sentrum i sirkelen, mens linjestykket som forbinder dem, tas som radius. Men hvis sirkelen skal gå gjennom begge disse to punktene A = (x_A,y_A) og B = (x_B,y_B) og samtidig være entydig bestemt, må de være endepunktene til en diameter i sirkelen. For et vilkårlig punkt P = (x,y) på den, vil da linjestykkene AP og BP stå vinkelrett på hverandre. Dette følger fra Tales’ halvsirkelteorem. Produktet av stigningstallene for de to linjestykkene må da være -1, det vil si

${y-y_{A} \over x-x_{A}}\cdot {y-y_{B} \over x-x_{B}}=-1$

Skrevet ut, gir dette ligningen (x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) = 0 for sirkelen med linjestykket AB som diameter. Ved å omforme den til standardformen (x - a)² + (y - b)² = r², kan koordinatene for sirkelens sentrum C = (a,b) og dens radius r  finnes uttrykt ved koordinatene til punktene A og B.

Polarkoordinater

I polarkoordinater får ligningen for en sirkel med sentrum i origo en spesielt enkel form:

$r=R\,$

For et mer generelt sentrum (r₀,θ₀) er formelen mer komplisert:

$r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\theta _{0})+r_{0}^{2}=R^{2}\,$

Parameterformer

Man kan benytte den halve vinkel som parameter t = tan(φ/2 ) i beskrivelsen av sirkelen.

For en sirkel med sentrum i origo kan man bruk vinkelen φ som radius danner med x-aksen, som en parameter for hvert punkt (x,y) som ligger på sirkelen. Setter man radius r = 1 og bruker de vanlige trigonometriske funksjonene, gir derfor x = cosφ og y = sinφ en parameterfremstilling av sirkelen. Parameteren φ varierer fra 0 til 2π  når man går rundt sirkelen.

En annen parametrisering finner man ved å trekke en rett linje fra punktet (-1,0) til (x,y) på sirkelen. Den skjærer y-aksen i punktet (0,t ) hvor t  kan betraktes som en ny parameter. Fra setningen om periferivinkler vet vi at denne linjen danner vinkelen φ/2  med x-aksen. Ved å bruke Pythagoras' læresetning ser man fra figuren at

$\sin {\phi \over 2}={t \over {\sqrt {1+t^{2}}}},\;\;\;\cos {\phi \over 2}={1 \over {\sqrt {1+t^{2}}}},$

Benytter man nå de trigonometriske relasjonene for sinus og cosinus uttrykt ved den halve vinkel, er

${\begin{alignedat}{2}\sin \phi &=2\sin {\phi \over 2}\cos {\phi \over 2}={2t \over 1+t^{2}}\\\cos \phi &=\cos ^{2}{\!\phi \over 2}-\sin ^{2}{\!\phi \over 2}={1-t^{2} \over 1+t^{2}}\\\end{alignedat}}$

Dette gir en alternativ parametrisering av sirkelen uten bruk av trigonometriske funksjoner,

${\begin{alignedat}{2}x&=a+R{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\y&=b+R{\frac {2t}{1+t^{2}}}\end{alignedat}}$

når man plasserer den med sentrum i (a,b) og med radius r = R.

Naturlige ligninger

Ifølge fundamentalteoremet for romkurver kan en kurve defineres ved hjelp av begrepene krumning κ og torsjon τ, og definisjonen er entydig bortsett fra posisjon og orientering i rommet. De såkalte naturlige ligningene for en sirkel i rommet er

${\begin{alignedat}{2}\kappa &={\frac {1}{R}}\\\tau &=0\\\end{alignedat}}$

Sirkelen er altså den eneste romkurven med konstant positiv krumning og null torsjon.

Sirkler i det komplekse plan

I det komplekse planet vil en sirkel med sentrum i z = c og radius R ha ligningen

$|z-c\,|^{2}=R^{2}\,$.

På parameterform kan denne ligningen skrives som

$z=Re^{it}+c\,$.

Tangent til sirkelen

I et punkt P = (x₀,y₀)  på sirkelen x² + y² = r²  står tangenten vinkelrett på radius til dette punktet. Dens stigningstall er derfor k = - x₀/y₀. Ligningen for linjen gjennom dette punkt og langs tangenten er y - y₀ = k(x - x₀)  som dermed blir

$xx_{0}+yy_{0}=r^{2}$

etter å ha brukt at koordinatene x₀  og y₀  oppfyller sirkelligningen.

Samme ligning beskriver også polaren til et vilkårlig punkt P = (x₀,y₀)  med hensyn på samme sirkel. Da er dette punktet polen for denne rette linjen. Når punktet ligger på sirkelen, faller tangenten sammen med polaren.

Sirkler i rommet

Storsirkel på en kuleflate

På en kuleflate er en storsirkel en sirkel som har samme radius som kuleflata og som også deler sentrum med kuleflata. Storsikelen vil ligge på et plan gjennom sentrum i kuleflata. Den korteste avstanden mellom to punkt på en kuleflate vil være langs storsirkelen som går gjennom begge punktene. En slik kurve kalles generelt en geodetisk kurve.

Tilsvarende er en småsirkel en sirkel på kuleflata, definert med en radius mindre enn kuleflata. Polarsirklene er småsirkler.

På jordkloden vil en meridian følge en storsirkel gjennom Nordpolen og Sydpolen.

Koordinatsystem basert på sirkler

Sirkelen danner grunnlaget for flere koordinatsystem i planet, blant annet polarkoordinater og bipolare koordinater. I disse systemene vil en eller begge koordinater være konstant på en sirkel omkring et fokuspunkt. Polarkoordinater har ett fokuspunkt, bipolare koordinater to. Disse koordinatsystemene har mange anvendelser i matematikk, blant annet til løsning av differensialligninger. De todimensjonale sirkelbaserte koordinatsystemene er igjen utgangspunkt for flere koordinatsystemer i rommet, som for eksempel sylinderkoordinater.

Punkts potens med hensyn på en sirkel

Illustrasjon av potensen til punktet P med hensyn på sirkelen

I plangeometri er et punkts potens med hensyn på en sirkel et mål for avstanden fra punktet til sirkelen. Dersom en sekant gjennom punktet P skjærer sirkelen i de to punktene M og N, så er punktets potens med hensyn på sirkelen lik produktet av lengdene PM og PN.

Et punkt som ligger utenfor sirkelen har positiv potens, mens et punkt innenfor har negativ potens. Potensen til et punkt på sirkelen er lik null.

Potensen til et punkt med hensyn på en sirkel er uavhengig av valg av sekant. Med referanse til illustrasjonen til venstre er

$PT^{2}=PM\cdot PN=PA\cdot PB=(s-r)\cdot (s+r)=s^{2}-r^{2}$

Her er r radien i sirkelen og s er avstanden fra punktet P til sentrum i sirkelen. Linja gjennom PT er en tangent til sirkelen.

Etymologi

Ordet «sirkel» har opphav i det latinske «circulus», en diminutiv form av «circus» som betydde «ring». Opprinnelig var ordet knyttet til fysiske objekt, men etter hvert ble «circulus» brukt om både reelle og abstrakte objekt som lignet en ring.

«Diameter» kan føres tilbake til gresk, fra forstavelsen «dia» = «gjennom, over» og substantivet «metron» = «mål».

Også «radius» er et latinsk ord, med betydning «stav». Det moderne ordet radio har samme opphav: radiobølgene stråler ut fra et senter tilsvarende som i radien i en sirkel.

Se også

• Ekliptikken, sirkelbanen til sola
• Episyklus, en form for sirkelbevegelse
• Sirkeldiagram, også kalt sektordiagram eller kakediagram
• Sirkelmodellen, modell for bystruktur

Litteratur

• D.J.Struik (1961). Lectures on classical differential geometry. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-65609-8. 
• Steven Schwartzman (1994). The words of mathematics. An etymological dictionary of mathematical terms used in English. Washington, DC: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-511-9.