σ-algebra

En familie ${\mathcal {A}}$ av delmengder av mengden $X$ kalles en sigma-algebra dersom

1. ${\mathcal {A}}$ er ikke tom. (Det finnes minst en delmengde $A\in {\mathcal {A}}$.)
2. Lukket under komplement: Hvis $A$ er med i ${\mathcal {A}}$ så er komplementet $A^{c}=X\setminus A$ også være med i ${\mathcal {A}}$
3. Lukket under tellbare unioner: Hvis $(A_{n})_{n=1}^{\infty }$ er en samling av mengder i ${\mathcal {A}}$ er også unionen $\cup _{n=1}^{\infty }A_{n}$ med i ${\mathcal {A}}$

Det følger at $\emptyset$ og $X$ er med i ${\mathcal {A}}$:
Tar vi en vilkårlig mengde $A$ i ${\mathcal {A}}$ (som finnes, ved egenskap 1) har vi at komplementet $A^{c}$ er i ${\mathcal {A}}$ ved egenskap 2, og ved egenskap 3 får vi at da må unionen $A\cup A^{c}=X$ og dens komplement $\emptyset$ være i ${\mathcal {A}}$.

Eksempel

Den enkleste $\sigma$-algebraen på en gitt mengde $X$ er den trivielle: ${\mathcal {A}}=\{\emptyset ,X,A,A^{c}\}$, for en delmengde $A$ av $X$. Går vi til den andre enden av skalaen er den største $\sigma$-algebraen på en gitt mengde samlingen av alle delmengder av $X$, ${\mathcal {P}}(X)$.

La $X={1,2,3,4,5,....}$ være mengden $\mathbb {N}$ av alle naturlige tall, og la familien ${\mathcal {A}}$ bestå av de 4 delmengdene $\emptyset$, ${1,3,5,....}$ (alle oddetall) ${2,4,6,...}$ (alle partall) samt $X$ selv. ${\mathcal {A}}$ er da en sigma-algebra.

En svært viktig $\sigma$-algebra er Borel $\sigma$-algebraen. Denne definerer vi som $\sigma$-algebraen generert av alle de åpne mengdene på en mengde $X$. Dersom vi betrakter de reelle tallene vil da de åpne mengdene være åpne intervaller, og dermed kan vi skrive ${\mathcal {B}}=\sigma ((a,b))$. Ved egenskapene 2 og 3 kan vi vise at også de lukkede mengdene, de halvåpne mengdene og åpne og lukkede stråler genererer Borel $\sigma$-algebraen. Igjen for de reelle tallene får vi da at Borel $\sigma$-algebraen også er generert av $[a,b]$,$[a,b)$,$(a,\infty )$ og $[a,\infty )$.

Referanser

Bartle, Robert G: The Elements of Integration and Lebesgue Measure. Wiley Classics Library