Hopp til innhold

Begrenset operator

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Innenfor matematikk er en begrenset operator er en lineær operator en transformasjon mellom to normerte rom der forholdet mellom vektoren og avbildningen av denne er oppad begrenset av en konstant.

Begrensede lineære operatorer fra et vektorrom til skalarkroppen det er definert over kalles for funksjonaler, og rommet av disse kalles for dualrommet til V. Begrensede lineære operatorer som er relativt kompakte kalles for kompakte operatorer.

En begrenset operator er generelt ikke en begrenset funksjon.

Definisjon

[rediger | rediger kilde]

La og være to normere rom med norm gitt ved henholdsvis og . En lineær operator er begrenset dersom det finnes en konstant slik at

for alle vektorer .[1]

Den minste verdien M som dette er sant for, benevnt og definert som

der betegner supremum, kalles for operatornormen til A.[1]

Rommet av begrensede operatorer fra til benevnes videre for , og dersom i denne teksten.

Egenskaper

[rediger | rediger kilde]

Kontinuitet

[rediger | rediger kilde]

For en lineær operator mellom to normerte rom, er følgende ekvivalent:

  1. A er en begrenset operator
  2. A er uniformt kontinuerlig
  3. A er kontinuerlig i 0.[2]

Dette impliserer at hvis én av disse gjelder, så gjelder også de andre (f.eks. hvis A er begrenset, er den også både uniformt kontinuerlig og kontinuerlig i 0).

Kompletthet

[rediger | rediger kilde]

Dersom V og W er normerte rom, og W er komplett, er også rommet komplett.[2]

Referanser

[rediger | rediger kilde]
  1. ^ a b T. Lindstrøm: Spaces, side 151.
  2. ^ a b T. Lindstrøm: Spaces, side 153.

Litteratur

[rediger | rediger kilde]
  • Tom L. Lindstrøm (2018). Spaces: An Introduction to Real Analysis. Pure and Applied Undergraduate Texts. American Mathematical Society. ISBN 978-1-470-44062-6.