Firkant

Eksempler på firkanter

En firkant er et polygon med fire sidekanter. Den har derfor også fire hjørner som hver utgjør en viss vinkel. I matematikken brukes også synonymene kvadrangel og tetragon, men de er mindre vanlige.

Sidekantene møtes i de fire hjørnene. Et linjestykke mellom to hjørner som ikke er en sidekant kalles en diagonal. I en såkalt enkel firkant vil ingen av sidekantene krysse hverandre, og summen av de innvendige vinklene vil være 360°. Omkretsen av firkanten er lik summen av de fire sidelengdene.

Firkanter kan videre klassifiseres i en rekke undergrupper, som parallellogram, rektangel, kvadrat og rombe.

Navnet kvadrangel har opphav i latin, som en sammensetning av «quadri» = fire og «angulus» = vinkel. Den greske formen «tetragon» betyr fire vinkler.

Klassifikasjon av firkanter

Et Euler-diagram over ulike typer firkanter

Konkav firkant

En firkant er syklisk dersom alle hjørnene ligger på en og samme sirkelbue. Firkanten er likesidet dersom alle sidene er like lange. I en ortodiagonal firkant er diagonalene ortogonale.

En firkant er konveks dersom en vilkårlig rett linje skjærer sidekantene i maksimum to punkt. En enkel firkant som ikke er konveks sies å være konkav.

Firkanter kan klassifiseres i en rekke undergrupper. Når man i dagligtale bruker en betegnelse på en gruppe høyere opp i hiearkiet vil det ofte være underforstått at man mener en figur som ikke også tilhører en undergruppe. Det vil si at selv om et parallellogram også er et trapes så vil man med «trapes» oftest tenke på trapeser som ikke er parallogrammer. Tilsvarende er det slik at selv om kvadratet er et rektangel, vil man med «rektangel» ofte mene rektangler hvor alle sider ikke er like lange, dvs. som ikke er kvadrater.

Trapes

Et trapes

En viktig regelmessig form på en firkant er trapeset. I et trapes er to av sidene parallelle, og de to andre sidene skal ikke krysse hverandre.

Arealet A av et trapes kan uttrykkes som et produkt av midlere lengde av parallelle sidekanter multiplisert med høyden mellom de parallelle linjene:

$A=h{\frac {s_{1}+s_{2}}{2}}.$

Her er s₁ og s₂ lengdene av de to parallelle sidekantene. Høyden h er avstanden mellom de to parallelle sidekantene.

Parallellogram

Et parallellogram

En undergruppe under trapeset er parallellogrammet. Parallellogrammet er altså også et trapes. Et parallellogram har følgende egenskaper:

• Begge de to parene av motstående sider er parallelle
• Begge de to parene av motstående sider er like lange
• Begge de to parene av motstående vinkler er like store
• Begge diagonalene mellom de motstående hjørnene krysser hverandre på midten.

Alle disse egenskapene henger sammen og det er nok å påvise én av disse.

Parallellogramloven gir en sammenheng mellom lengden av sidene og diagonalene i et parallellogram.

Rombe

En rombe er en likesidet firkant. Enhver rombe er også et parallellogram. Diagonalene i en rombe er ortogonale, slik at romben er ortodiagonal. Skjæringspunktet mellom diagonalene vil dele hver av diagonalene i to.

Rektangel

Et rektangel

Et rektangel er et parallellogram der alle vinklene er 90°.

For et rektangelet forenkles arealformelen for trapeset seg til formen

$A=ab,$

hvor a og b er lengdene av to sider som står vinkelrett på hverandre.

Kvadrat

Et kvadrat er både en rombe og rektangel, dvs. en figur der alle sidene er like lange og vinklene er 90°. Et kvadrat er altså også en rombe, et rektangel, et parallellogram og et trapes.

Et kvadrat er et regulært polygon, det vil si både syklisk og likesidet.

En drake

En enhetsfirkant eller enhetskvadrat er et kvadrat med sidelengder lik 1. Som oftest er enhetskvadratet plassert med det ene hjørnet i origo og sidekanter orientert langs koordinataksene.

Drake

En drake er en enkel firkant der to og to sider har samme lengde og der to sider med samme lengde har et felles hjørne.

Syklisk firkant

Hjørnene i en syklisk firkant ligger på en sirkel.

I en syklisk firkant ligger de fire hjørnene på en sirkel. Det gir denne firkanten spesielle egenskaper. Hver av dens sider er en korde i sirkelen. Summen av to motstående vinkler er lik med summen av to rette vinkler. Det følger fra teoremet om periferivinkler. I figuren er derfor A + C = B + D = 180°.

Firkantens areal er gitt ved Brahmaguptas formel som uttrykker det direkte ved lengdene til de fire sidene, Hvis man kaller disse lengdene for a = AB, b = BC, c = CD og d = DA, så er arealet til firkanten

$A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

hvor s = (a + b + c + d)/2 er halve omkretsen til firkanten.

Når en av sidene blir forsvinnende liten, blir firkanten en trekant. I denne grensen går formelen for arealet over til den tilsvarende Herons formel for arealet til en trekant.

En syklisk firkant er innskrevet i en sirkel. På lignende måte kan en sirkel være innskrevet i en firkant slik at alle dens sider er tangenter til sirkelen. Den sies da å være en tangeringsfirkant.

Ptolemaios' sats

For en syklisk firkant gjelder Ptolemaios' sats som sin at produktet av dens to diagonaler er lik summen av produktene av motstående sider. Med henvisning til figuren kan den skrives som

$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA$

Satsen kan bevises på forskjellige måter ved å benytte setningen om periferivinkler eller ved sirkelinversjon. Den ble benyttet av Klaudios Ptolemaios i hans utarbeidelse av trigonometriske tabeller for bruk i sitt astronomiske verk Almagest. I dag benyttes den i form av en trigonometrisk identitet som oppstår ved addisjon av vinkler. Sinus til en sum eller differens av to vinkler kommer direkte fra denne setningen når en diagonal i firkanten faller sammen med en diameter i sirkelen.

Areal av en konveks firkant

Arealet av en vilkårlig konveks firkant kan finnes ved å dele firkanten opp i to trekanter etter en av diagonalene, og så å regne ut arealet av de to trekantene hver for seg.

For en konveks firkant ABCD kan arealet også beregnes ved hjelp av kryssproduktet av to vektorer definert langs diagonalene:

${\begin{alignedat}{2}A&={\tfrac {1}{2}}|\mathbf {AC} \times \mathbf {BD} |\\&={\tfrac {1}{2}}|(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{D})-(x_{B}-x_{D})(y_{A}-y_{C})|.\end{alignedat}}$

Se også

• Varignons teorem
• Fullstendig firkant