Hopp til innhold

Klein-Gordon-ligning

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Oskar Klein, 1894–1977.

Klein-Gordon-ligningen er en kvantemekanisk bølgeligning for relativistiske partikler uten spinn. Når disse beveger seg mye langsommere enn lyshastigheten, reduseres den til Schrödinger-ligningen.

Partikler uten spinn beskrives i kvantefeltteorien ved skalarfelt. Klein-Gordon-ligningen kan av den grunn betraktes som «feltligningen» for slike partikler. Derfor benyttes den for pioner, Higgs-partikler og andre spinnløse bosoner. For en fri partikkel med masse m  har ligningen formen

hvor c  er lyshastigheten og ħ  er den reduserte Planck-konstanten. Funksjonen φ = φ(r,t) beskriver skalarfeltet, men var opprinnelig ment å være partikkelens bølgefunksjon. Den kan være kompleks eller reell etter som partikkelen har elektrisk ladning eller ikke.

Ligningen ble opprinnelig funnet i 1925 av Schrödinger som forkastet den da den ga feil resultat for finstrukturen i spekteret til hydrogenatomet. Den fikk sitt navn etter Oskar Klein som året etter viste hvordan en massiv partikkel i et firedimensjonalt tidrom kan tenkes å være en masseløs partikkel i fem dimensjoner. Samme år utledet Walter Gordon ligningen på en enklere måte som fremdeles benyttes i dag. Han fant at den ga en sannsynlighetstetthet som kan være negativ. Den kan derfor ikke benyttes i kvantemekanikken på samme måte som Schrödinger-ligningen.[1]

Utledning

[rediger | rediger kilde]

Schrödinger kom frem til Klein-Gordon-ligningen ved å ta utgangspunkt i en materiebølge med et relativistisk uttrykk for fasehastigheten. Samme fremgangsmåte gir også Schrödinger-ligningen. Mer direkte kan denne formuleres ved å ta utgangspunkt i den ikke-relativistiske energien E = p2/2m for en fri partikkel med masse m  og impuls p. Den kvantemekaniske bølgeligningen for partikkelen finnes nå ved å la p → - og E ∂/∂t virke på bølgefunksjonen.[2]

For en relativistisk partikkel er sammenhengen mellom energi og impuls gitt ved Einsteins spesielle relativitetsteori og kan uttrykkes som

Når partikkelen er i ro, har den energien E0 = mc2. Så snart den er i bevegelse, øker energien over denne minimalverdien og forblir alltid positiv. Ved å erstatte E  og p med de tilsvarende kvantemekaniske operatorene som virker på en bølgefunksjon φ = φ(r,t), fremkommer den partielle differensialligningen

Det er Klein-Gordon-ligningen for en fri partikkel utledet slik som Gordon viste. Mens den førstederiverte med hensyn på tiden opptrer i Schrödinger-ligningen, inngår her den andrederiverte på samme måte som i bølgeligningen for det elektromagnetiske feltet.[3]

Yukawa-potensial

[rediger | rediger kilde]

En rent statisk eller tidsuavhengig løsning φ = φ(r) av ligningen må oppfylle

Størst interesse har løsninger som bare avhenger av avstanden r = |r| fra origo. Ved å benytte kulekoordinater i Laplace-operatoren forenkles til

hvor parameteren κ = mc /ħ   er den inverse, reduserte Compton-bølgelengden til partikkelen. Løsningen av differensialligingen er

der C  er en integrasjonskonstant. Dette fremstiller Yukawa-potensialet som benyttes i beskrivelsen av den sterke kjernekraften. Det tilsvarer Coulomb-potensialet utenfor en punktladning, men avtar mye raskere enn dette for økende avstander. Man sier i kvantefeltteorien at Yukawa-potensialet skyldes utveksling av en massiv partikkel eller meson, mens Coulomb-potensialet oppstår ved utveksling av et masseløst foton.[4]

Elektromagnetisk kobling

[rediger | rediger kilde]

Når partikkelen som Klein-Gordon-ligningen har en elektrisk ladning, vil den påvirkes av et elektromagnetisk felt. På samme måte som for Schrödinger-ligningen må denne vekselvirkningen være invariant under en lokal gaugetransformasjon hvor χ = χ(r,t) er en vilkårlig funksjon. Bølgefunksjonen må derfor være kompleks. Det betyr at koblingen til feltene må skje ved det elektriske potensialet V = V(r,t) og det magnetiske potensialet A = A(r,t) via de minimale substitisjonene

når partikkelen har ladning q. Den utvidete Klein-Gordon-ligningen blir dermed

For en stasjonær løsning kan man erstatte operatoren  ∂/∂t med energien E til den tilsvarende kvantetilstanden. Ser man bort fra vektorpotensialet A og lar partikkelen befinne seg i et Coulomb-potensial, har man dermed den differensialligningen som Schrödinger først kom frem til for hydrogenatomet. Den kan løses eksakt og gir en relativistisk oppsplitting av energinivåene som har en lignende form som den Sommerfeld tidligere hadde funnet ved bruk av halv-klassisk kvantisering. Men den numeriske verdien av effekten stemte ikke helt slik at Schrödinger så seg nødt til å forkaste denne relativistiske bølgeligningen.[2]

Ikke-relativistisk grense

[rediger | rediger kilde]

Schrödinger-ligningen kan betraktes som Klein-Gordon-ligningen i den ikke-relativistiske grensen. Da beveger partikkelen seg mye langsommere enn lyshastigheten slik at dens energi kan skrives som E = mc 2 + ENR der den ikke-relativistiske energien ENR << mc 2. Det samme må man anta for den potensielle energien qV. Da kan man benytte tilnærmingen

Den relativistiske bølgefunksjonen har nå den stasjonære formen

slik at den reduserte Klein-Gordon-ligningen dermed tar den ikke-relativistiske formen

Det er den tidsuavhengige Schrödinger-ligningen for en partikkel i et ytre, elektromagnetisk felt.[5]

Kovariant form

[rediger | rediger kilde]

Klein-Gordon-ligningen er basert på den relativistiske sammenhengen E 2 = p 2c 2 + m 2c 4 mellom energi og impuls. I en kovariant formulering av spesiell relativitetsteori benyttes koordinater xμ = (ct, r) i det firedimensjonale Minkowski-rommet. Det tilsvarer definisjonen pμ = (E/c, p) av fireimpulsen til partikkelen. Benyttes den vanlige, metriske tensoren ημν med diagonale komponenter (1,-1,-1,-1), kan man skrive denne sammenhengen mellom energi og impuls som

når man benytter Einsteins summekonvensjon og summerer over like par indekser.[6]

Den kvantemekaniske beskrivelsen av den relativistiske partikkelen fremkommer nå ved å la pμ ∂/∂xμ =  ∂μ virke på bølgefunksjonen. Det gir Klein-Gordon-ligningen på den kovariante formen

Når partikkelen befinner seg i et elektromagnetisk felt, kan dette beskrives ved firevektorpotensialet Aμ = (Φ /c, A). Den gaugeinvariante vekselvirkningen fremkommer igjen ved den minimale koblingen som nå kan sammenfattes ved substitusjonen  ∂μ ∂μ - qAμ. Det gir den kovariante bølgeligningen

Her må φ(x) være en kompleks bølgefunksjon.

Bevart strøm

[rediger | rediger kilde]

For en fri partikkel beskrevet ved en kompleks bølgefunksjon vil også den konjugerte bølgefunksjonen oppfylle samme bølgeligning. Man har derfor også at

Ved å ta differensen mellom disse to ligningene, faller masseleddet bort. Man står igjen med

hvor firevektoren

er en bevart strøm da dens firedimensjonale divergens er null. Her inngår i = √-1 for å gjøre strømmen reell. Da den romlige delen av vektoren har samme form som sannsynlighetsstrømmen for Schrödinger-ligningen, er det nærliggende å tro at komponenten

er proporsjonal med en relativistisk sannsynlighetstetthet. Men det kan den ikke være da den ikke er garantert å alltid være positiv slik som den fra Schrödinger-ligningen er. Funksjonen φ(x) er derfor ikke en sannsynlighetsamplitude for en relativistisk partikkel. Det var dette problemet med Klein-Gordon-ligningen som fikk Paul Dirac til å utvikle den alternative Dirac-ligningen.

Med etableringen av kvantefeltteorien viste det seg at funksjonen φ(x) som bestemmes av Klein-Gordon-ligningen, er et skalarfelt som beskriver både partikler og deres antipartikler når feltet blir kvantisert. Den bevarte firevektoren J μ representerer da den elektriske strømmen til disse partiklene med J0 som deres ladningstetthet. Og denne kan være både positiv og negativ.[7]

Antipartikler

[rediger | rediger kilde]

Bølgefunksjonen til en fri partikkel med energi E og impuls p har har den kovariante formen

hvor amplituden N  er en normeringskonstant. Funksjonen er løsning av Klein-Gordon-ligningen når man har sammenhengen E 2 = p 2c 2 + m 2c 4 som ligger til grunn for ligningen. Men som en relativistisk teori må nå begge løsningene med

aksepteres på like fot. Den positive løsningen beskriver opplagt en partikkel som i klassisk fysikk, mens den negative løsningen betyr at ligningen også gjelder for antipartikler. Slike løsninger ble først påvist for Dirac-ligningen. Klassisk tilsvarer de partikler som går bakover i tid. Det følger fra fireimpulsen pμ = m dxμ/ hvor τ  er egentiden. Da energien E  er gitt ved tidskomponenten av denne impulsen, er derfor E = mc 2dt /. Når energien til partikkelen er negativ, vil den derfor bevege seg slik at tiden t  avtar med økende egentid τ.[8]

Det er bare når Klein-Gordon-ligningen blir betraktet kvantefeltteoretisk at dens løsninger med negativ energi får sin endelig form som antipartikler. En partikkel med negativ energi som går bakover i tiden, vil da opptre som en antipartikkel som beveger seg fremover i tid med positv energi, men med motsatt, elektrisk ladning nøyaktig som for Dirac-ligningen. Dette ble først vist av Pauli og Weisskopf i 1934. De omtalte da Klein-Gordon-ligningen som «anti-Dirac-ligningen» da den viste at antipartikler ikke var noe spesielt for Dirac-ligningen.[9]

Normering

[rediger | rediger kilde]

Strømmen kan ikke lenger betraktes som en bevart sannsynlighetsstrøm, men må forstås som proporsjonal med den elektriske strømmen til feltet som skyldes både partikler og antipartikler med motsatte ladninger. Komponenten kan derfor ha begge fortegn. Det kommer tydelig frem når man regner den ut for bølgefunksjonen for en fri partikkel. Den gir

og vil være negativ hvis energien E < 0. Den totale ladningen vil være en Lorentz-skalar da det tredimensjonale, romlige integralet over nullte komponent av en firevektor er det samme i alle referansesystem. Det betyr også at normeringskonstanten N  vil måtte inneholde energien E.[10]

Dette kan benyttes til å definere et Lorentz-invariant indre produkt mellom to skalare bølgefunksjoner som

For to frie bølgefunksjoner tilsvarende partikler med impulser p og p' forenkles dette til

hvor det gjenstående volumintegralet medfører at energiene Dets eksplisitte verdi er

avhengig av om bølgefunksjonene oppfyller periodiske grensebetingelser i et endelig volum V  eller eksisterer helt fritt. I det første tilfellet kan man benytte normaliseringen

som er den mest vanlige.[3] Men spesielt for høyenergetisk elementærpartikkelfysikk benyttes normeringen den enklere normeringen som i et uendelig stort volum betyr at indreproduktet er

Her er nå den relativistiske energien til en partikkel med impuls p. Dette er nå en «kovariant normering».[11]

Skalar feltteori

[rediger | rediger kilde]

Maxwells ligninger kan betraktes som Euler-Lagrange-ligningene for en elektromagnetisk Lagrange-funksjon ved bruk av Hamiltons virkningsprinsipp. På samme måte kan Klein-Gordon-ligningen for et reelt skalarfelt utledes fra Lagrange-tettheten

Den tilsvarende, kovariante Euler-Lagrange-ligningen er

Her blir nå

som gir den ønskede bølgeligningen Da dette feltet er reelt, gir det ikke opphav til noen bevart strøm. Den kvantiserte teorien inneholder antipartikler, men de er identiske med partiklene.[3]

Komplekst felt

[rediger | rediger kilde]

To slike skalarfelt med φ1 og φ2 med forskjellige masser har en Lagrange-funksjon som er summen av disse funksjonene for hver av feltene. I det spesielle tilfellet at de to massene er like store, vil denne summen

ha en ny symmetri. Den arter seg ved at denne Lagrange-funksjon forblir uendret når de to feltene forandres til

hvor χ  er en konstant vinkel. Dette tilsvarer en rotasjon av de to feltene i et abstrakt, 2-dimensjonalt «feltrom» beskrevet ved Lie-gruppen SO(2). Ifølge Noethers setning tilsvarer denne symmetrien en bevart størrelse. Det er firestrømmen J μ som ble funnet for det komplekse feltet. Her defineres dette som

og gjør det mulig å skrive den samme Lagrange-funksjonen på den mer kompakte måten

Rotasjonen av de to reelle komponentene til feltet tilsvarer nå den komplekse fasetransformasjonen Den er ekvivalent med en global gaugetransformasjon da vinkelen χ  i dette tilfellet er konstant i hele tidrommet.[12]

Kvantisering

[rediger | rediger kilde]

Partikkelinnholdet i det skalare Klein-Gordon-feltet kommer først frem når det blir kvantisert. Da det beskriver relativistiske partikler, blir fremstillingen enklere når man benytter måleenheter hvor lyshastigheten c = 1. Den konjugerte impulsen til det nøytrale feltet er da

Etter kvantiseringen blir både feltet og denne impulsen operatorer og som må oppfylle den kanoniske kommutatoren

Dette kan gjennomføres ved å uttrykke det klassiske feltet ved periodiske modefunksjoner i et endelig volum slik at hver mode kan kvantiseres som en harmonisk oscillator. Alternativt kan man Fourier-transformere feltet i et uendelig stort volum ved å skrive

hvor firevektoren slik at Da et nøytralt felt tar reelle verdier, må Fourier-komponentene oppfylle betingelsen som sees ved å ta den kompleks-konjugerte av feltet etterfulgt av p → - p i integranden.[10]

Deltafunksjonen opptrer fordi feltet skal beskrive partikler med masse m. Ved integrasjonen over komponenten p0 vil denne funksjonen gi to bidrag ved at

Den firedimensjonale Fourier-transformasjonen splittes dermed opp i to tredimensjonale transformasjoner,

etter man i det siste leddet har latt p → - p. På denne formen er det tydelig et reelt felt.

Kreasjon og annihilasjonsoperatorer

[rediger | rediger kilde]

Selve kvantiseringen skjer nå ved at Fourier-komponentene til feltet blir operatorer,

Den kanoniske kommutatoren er nå oppfylt når disse kommuterer med hverandre bortsett fra at

Høyresiden her har denne spesielle verdien på grunn av normaliseringen som er implisitt i uttrykket for den tilsvarende feltoperatoren,

Fra den klassiske Hamilton-tettheten

kan nå Hamilton-operatoren for feltet finnes. Den blir

hvor det siste leddet er divergent da det inneholder δ(0) og er relatert til Casimir-effekten. Et tilsvarende uttrykk kan utledes for den totale impulsoperatoren Herav ser man at operatoren skaper en partikkel med energi Ep og 3-impuls p, mens fjerner en slik partikkel. De er begge stigeoperatorer.

Da den tomme tilstanden ikke inneholder noen partikler, er

Derimot er nå tilstanden for én partikkel med 4-impuls p gitt som

Fra den kanoniske kommutatoren følger dermed normeringen av tilstanden som

Det som nå tilsvarer bølgefunksjonen for denne tilstanden er matriseelementet

Bruk av lignende normalisering gir samme resultat.[10]

Kvantisert ladning

[rediger | rediger kilde]

Når det skalare feltet er reelt, vil dets antipartikler være identiske med partiklene selv. Derimot vil et komplekst felt ha en bevart strøm og en tilsvarende ladning som kan brukes til å skille partikler og antipartikler. Et slikt felt kan formelt beskrives som en superposisjon av to reelle felt, φ1 og φ2. Den tilsvarende feltoperatoren er

hvor stigeoperatorene nå er

Fra de to fundamentale kommutatorene

følger dermed i stedet kommutatorene

mellom de nye stigeoperatorene. Alle andre er null. Mens kreasjonsoperatoren skaper en partikkel med fireimpuls p, vil skape en antipartikkel med samme fireimpuls, men med motsatt ladning Q. Det følger fra

hvor e  er elementærladningen og operatoren teller antall partikler, mens teller antall antipartikler. For eksempel kan et system med positive og negative pioner beskrives ved et slikt komplekst kvantefelt.[11]

Referanser

[rediger | rediger kilde]
  1. ^ H. Kragh, Equation with many fathers, American Journal of Physics 52, 1024–1033 (1984).
  2. ^ a b H.A. Bethe, Intermediate Quantum Mechanics, W.A. Benjamin, New York (1964).
  3. ^ a b c T.D. Lee, Particle Physics and Introduction to Field Theory, World Scientific, Singapore (1988). ISBN 3-7186-0033-1.
  4. ^ R. Eisberg and R. Resnick, Quantum Physics, John Wiley & Sons, New York (1974). ISBN 0-471-23484-8.
  5. ^ J.J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, The Benjamin/Cummings Publishing Company, Menlo Park CA (1985). ISBN 0-8053-7501-5.
  6. ^ D. Griffiths, Introduction to Elementary Particle Physics, Wiley-VCH Verlag, Weinheim (2008). ISBN 978-3-527-40601-2.
  7. ^ A. Pais, Inward Bound, Oxford University Press, England (1986). ISBN 0-19-851971-0.
  8. ^ E. F. Taylor and J. A. Wheeler, Spacetime Physics, W. H. Freeman and Company, San Francisco (1963).
  9. ^ V. Weisskopf, The development of field theory in the last 50 years, Physics Today 34 (11), 69–85 (1981).
  10. ^ a b c M.E. Peskin and D.V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley, Reading MA (1995). ISBN 0-201-50397-2.
  11. ^ a b I.J.R. Aitchison and A.J.G. Hey, Gauge Theories in Particle Physics, Institute of Physics Publishing, Bristol (1989). ISBN 0-85274-328-9.
  12. ^ C. Itzykson and J.-B. Zuber, Quantum Field Theory, McGraw-Hill, New York (1980). ISBN 0-07-032071-3.

Eksterne lenker

[rediger | rediger kilde]