Grawitacja

Grawitacja, ciążenie powszechne – zjawisko fizyczne polegające na wzajemnym przyciąganiu się wszystkich ciał – wszelkich mas i innych postaci energii. Ciążenie to jedno z oddziaływań podstawowych obok tych elektrosłabych i jądrowych silnych.

Upuszczenie młotka i piór: astronauta David Scott (z misji Apollo 15) na Księżycu przedstawiający legendarny eksperyment Galileusza

Najdokładniejszym potwierdzonym modelem grawitacji jest ogólna teoria względności stworzona przez Alberta Einsteina, opublikowana w 1916 roku. Opisuje ona to zjawisko jako skutek zakrzywienia czasoprzestrzeni przez materię, przez co ciążenie nie zawsze jest nazywane oddziaływaniem. Przybliżeniem teorii Einsteina jest prawo powszechnego ciążenia podane przez Isaaca Newtona w XVII wieku.

Grawitacja w mechanice klasycznej

Poglądy starożytnych

Już w czasach prehistorycznych ludzie zaobserwowali, że przedmioty puszczone spadają. Codzienne potoczne obserwacje wskazują, że obiekty cięższe znajdą się na ziemi wcześniej niż lżejsze. Jeżeli zrzucimy z pewnej wysokości kulkę kamienną lub metalową oraz piórko, to piórko spadnie później. Co więcej istnieją obiekty takie jak np. mgła, dym czy balony, które pozornie bez udziału siły zewnętrznej unoszą się do góry. Podobne codzienne obserwacje, pomijające opór i siłę wyporu powietrza, przekonały greckiego filozofa Arystotelesa, że proces spadania jest zależny od „natury” przedmiotu. Pogląd ten zawarł w swoich dziełach dotyczących fizyki wydanych w latach 355–322 p.n.e. Starożytni w żaden sposób nie kojarzyli opadania ciał na Ziemi z ruchami planet w niebiosach. Zachowanie ciał niebieskich opisywał model geocentryczny, który nie pozwalał na dostrzeżenie jakichkolwiek analogii pomiędzy ruchem spadającego ciała a ich torami. Istniało powszechne przekonanie, że ziemia i niebo rządzą się całkowicie odmiennymi prawami.

Renesans

W roku 1515 Kopernik zaproponował, opublikowany dopiero w roku 1543, heliocentryczny model Układu Słonecznego. Słońce znajdowało się w środku, a planety poruszały się po kołowych orbitach. W roku 1584 Giordano Bruno zaproponował zasadę, według której zarówno Ziemią, jak i niebem rządzą te same powszechne prawa.

W roku 1604 Galileusz podważył wywodzące się ze starożytności idee dotyczące spadania ciał. Jego zdaniem pozorne różnice między ciążeniem działającym na różne obiekty są skutkiem zjawisk takich jak opór, albo wypieranie. W podręcznikach podaje się, że Galileusz wykonał szereg eksperymentów z kulami o różnych masach zrzucanymi z wieży lub staczającymi się po równi pochyłej. Wielu współczesnych historyków nauki sądzi, że ten wielki uczony dowiódł niezależności przyspieszenia ziemskiego od natury ciała w sposób czysto spekulatywny. Galileusz działał zgodnie z powszechnie uznawaną w jego czasach scholastyczną metodą analizy zjawisk.

Badacz ten wyobraził sobie dwie spadające cegły. Gdyby ich przyspieszenie zależało od masy, wówczas każda z cegieł oddzielnie spadałaby inaczej, niż gdyby połączyć je luźnym sznurkiem. Galileusz doszedł do wniosku, że założenie zależności przyspieszenia od masy ciała prowadzi do logicznej sprzeczności. Połączenie ciał sznurkiem nie zmienia ich fizycznych własności.

W latach 1609–1618 niemiecki astronom Jan Kepler sformułował prawa dotyczące ruchu orbitalnego. Zgodnie z nimi planety kreślą w przestrzeni wielkie elipsy. Sformułował też prawo wiążące średni promień orbity z okresem obiegu:

Kwadrat stosunków czasów potrzebnych dwóm planetom na przejście całej swojej orbity jest równy sześcianowi stosunków ich średnich odległości od Słońca.

Prawo powszechnego ciążenia

5 lipca 1687 Izaak Newton wydał dzieło, w którym przedstawił spójną teorię grawitacji opisującą zarówno spadanie obiektów na ziemi, jak i ruch ciał niebieskich. Angielski fizyk oparł się na zaproponowanych przez siebie zasadach dynamiki oraz prawach Keplera dotyczących odległości planety od Słońca.

Prawo powszechnego ciążenia głosi, że:

Między dowolną parą ciał posiadających masy pojawia się siła przyciągająca, która działa na linii łączącej ich środki mas, a jej wartość rośnie z iloczynem ich mas i maleje z kwadratem odległości.

Egzemplarz dzieła Newtona wydanego 5 lipca 1687 pod tytułem Philosophiae Naturalis Principia Mathematica

Matematycznie związek ten wyraża się wzorem:

${\vec {F}}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\cdot {\frac {\vec {r}}{r}}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\vec {e}},$

gdzie:

$G$ – stała grawitacji,

$m_{1}$ i $m_{2}$ – masy ciał,

$r$ – odległość między środkami mas,

${\vec {e}}$ – wersor o kierunku prostej łączącej środki obu ciał i zwrocie ku drugiemu ciału, jeśli ${\vec {F}}$ opisuje siłę działającą na pierwsze ciało.

Wartość tej siły jest równa:

$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}.$

Grawitacja na powierzchni Ziemi

Ruch ciał początkowo spoczywających o różnej masie w wyniku wzajemnego przyciągania

W pobliżu powierzchni naszej planety (z dokładnością do kilometrów) i niezbyt dużym obszarze można przyjąć, że pole grawitacyjne jest jednorodne. Warunek ten spełniony jest, gdy wysokość nad powierzchnią i przemieszczenie w poziomie są dużo mniejsze od promienia Ziemi.

Korzystając z zależności na siłę grawitacyjną, można obliczyć, że na przedmiot o masie $m$ na powierzchni naszej planety działa siła grawitacji $F_{g}{:}$

$F_{g}={\frac {GM_{z}m}{r_{z}^{2}}},$

gdzie $M_{z}$ ≈ 5,9722·10²⁴ kg – masa Ziemi, $r_{z}$ ≈ 6373,14 km.

Zatem natężenie pola grawitacyjnego jest równe:

$E={\frac {F_{g}}{m}}.$

Podstawiając zależność na siłę można obliczyć $E{:}$

$E={\frac {GM_{z}}{r_{z}^{2}}}\approx \mathrm {{\frac {6{,}6743\cdot 10^{-11}\cdot m^{3}\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2}\cdot 5{,}9722\cdot 10^{24}\ kg}{(6373{,}14\ km)^{2}}}\approx 9{,}81\ {\frac {m}{s^{2}}}} .$

Wynik ten został wyznaczony przy założeniu, że Ziemia jest jednorodną kulą. Gdyby kula ta dodatkowo nie obracała się, wówczas natężenie to byłoby równe przyspieszeniu grawitacyjnemu, z jakim ciała spadają na Ziemię (przyspieszeniu ziemskiemu), zgodnie z II zasadą dynamiki:

$a={\frac {F_{g}}{m}}=g.$

Rzeczywista wartość przyspieszenia ziemskiego zależy od wielu czynników (m.in. od szerokości geograficznej, co związane jest z kształtem Ziemi i wpływem siły odśrodkowej, niejednorodnościami gęstości skorupy ziemskiej). Umowna wartość $g$ (dodaje się indeks „n” w celu zaznaczenia, że jest to przyspieszenie „normalne”) to:

$g_{n}=9{,}80665\ \mathrm {\frac {m}{s^{2}}} .$

Swobodnie spadające ciało porusza się z przyspieszeniem ziemskim tylko przez chwilę. Potem opór powietrza staje się na tyle znaczący, że równoważy siłę grawitacji i ciało osiąga stałą prędkość zwaną prędkością graniczną. Wartość tej prędkości zależy od kształtu i gęstości ciała. Spadochron zwiększa siłę oporu powietrza i prędkość opadania stabilizuje się na dużo mniejszej wartości.

Na Księżycu brak atmosfery powoduje, że wszystkie ciała spadają z takim samym przyspieszeniem. Podczas lotów programu Apollo astronauci przeprowadzili pokazy ze zrzucaniem różnych przedmiotów, które transmitowała telewizja. Brak atmosfery hamującej ruch pojazdu powoduje, że lądowanie na Srebrnym Globie wymaga dużych ilości paliwa rakietowego, bowiem z powodu braku powietrza, spadochrony w próżni są bezużyteczne.

Grawitacja w ogólnej teorii względności

Artystyczna wizja zakrzywienia czasoprzestrzeni wywołanej przez obiekt masowy. Materia zmienia geometrię czasoprzestrzeni, zakrzywienie jest interpretowane jako grawitacja. Białe linie przedstawiają osie biegunowego układu współrzędnych nałożony na zakrzywioną przestrzeń.

W ogólnej teorii względności opisanej przez Alberta Einsteina opis matematyczny grawitacji polega na określeniu związku pomiędzy tensorem metrycznym, opisującym lokalne stosunki długości i interwałów czasowych w czasoprzestrzeni, a energią zawartą w określonym obszarze czasoprzestrzeni. Punktem wyjścia dla teorii jest uogólnienie zasady względności Galileusza, o równoważności opisu zjawisk fizycznych w dowolnych układach inercjalnych, na dowolne, także nieinercjalne, układy odniesienia. Próba takiego zapisania praw mechaniki, aby ich postać matematyczna była identyczna w dowolnym układzie odniesienia, prowadzi do utożsamienia grawitacji i sił bezwładności, masy grawitacyjnej i bezwładnej i w końcu do równań pola grawitacyjnego łączących krzywiznę czasoprzestrzeni (wyrażaną za pomocą tensora metrycznego) z tensorem energii-pędu. W ogólnej teorii względności grawitacja jest więc przejawem zakrzywienia czasoprzestrzeni.

Tensor metryczny $g_{\mu \nu }$ określa w czasoprzestrzeni infinitezymalną odległość $ds$ między dwoma bliskimi punktami o współrzędnych $x^{\mu }$ i $x^{\mu }+dx^{\mu }$ następująco:

$ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }.$

W sferycznie symetrycznej czasoprzestrzeni kwadrat elementu długości $ds$ ma postać:

$ds^{2}=g_{00}\!(r)\,(dx^{0})^{2}-g_{11}\!(r)\,dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}.$

Przy czym elementy tensora metrycznego $g_{00}$ i $g_{11}$ są funkcjami odległości $r$ od centrum pola – otrzymuje się je z rozwiązań równań Einsteina; np. $g_{00}$ wiąże się z potencjałem grawitacyjnym $\varphi (r)$ teorii grawitacji Newtona zależnością:

$g_{00}\!(r)=1+{\frac {2\varphi (r)}{c^{2}}},$

gdzie:

$\varphi (r)=-{\frac {GM}{r}},$ przy czym $M$ – masa źródła pola, $G$ – stała grawitacji.

W równaniu Einsteina geometria przestrzeni zależy od rozkładu energii-materii w przestrzeni, zaś gęstości energii-materii zmienia się zależnie od aktualnej geometrii przestrzeni. Oznacza to, że równania Einsteina nie pozwalają więc obliczyć zmian w czasie żadnej z tych wielkości niezależnie od drugiej. To sprawia, że uzyskiwanie rozwiązań tych równań nie jest trywialne. Zwykle jest to możliwe jedynie dla wyjątkowo symetrycznych konfiguracji, jak np. rozwiązania Schwarzschilda dla przestrzeni pozbawionej materii oraz dla pojedynczego ciała z symetrią kulistą (którą może być np. czarna dziura). Dla punktów w próżni, tj. poza czarną dziurą, otrzymuje się:

$g_{00}\!(r)=1-{\frac {r_{g}}{r}},$

gdzie: $r_{g}$ jest promieniem grawitacyjnym definiującym rozmiar horyzontu zdarzeń czarnej dziury.

Krzywa obrotu typowej galaktyki spiralnej: przewidywana (A) i obserwowana (B). Rozbieżność między krzywymi przypisywana jest ciemnej materii. Oś pionowa – prędkość, oś pozioma – odległość

W ujęciu ogólnej teorii względności postuluje się, że źródłem grawitacji jest tensor energii-pędu. Nawet cząstki pozbawione masy spoczynkowej (foton) doznają wpływu wynikającego z zakrzywienia przestrzeni, a więc oddziałują grawitacyjnie. Generalnie, źródłem grawitacji są wszelkie postacie energii dające wkład do wyżej wymienionego tensora energii pędu: masy, gęstość energii promieniowania i ciśnienia. W szczególności, wkład ciśnienia jest identyczny z wkładem masy, czyli wzrost ciśnienia powoduje wzrost sił przyciągających, a nie, jak podpowiada nam intuicja, spadek.

Grawitacja w mechanice kwantowej

Współczesna fizyka nie jest w stanie połączyć (zunifikować) ogólnej teorii względności z mechaniką kwantową. Oznacza to, że żadna ze współczesnych teorii nie opisuje poprawnie ruchu cząstki poruszającej się z prędkością porównywalną z prędkością światła w próżni w silnym polu grawitacyjnym, np. w pobliżu lub we wnętrzu czarnej dziury. Ogólna teoria względności załamuje się również w momencie Wielkiego Wybuchu, jak i zaraz po nim. Brak jest prawidłowego opisu zjawisk zachodzących w bardzo małych objętościach porównywalnych z długością Plancka. Jakkolwiek zjawiska te z punktu widzenia przeciętnego człowieka wydają się być dosyć odległe od zjawisk, jakie obserwujemy na co dzień, to jednak poprzez ich związek z kosmologią, wyniki uzyskane na tych polach mają bezpośredni wpływ na obraz zjawisk jak najbardziej powszechnych.

Nie oznacza to, że nie podejmuje się ciągle prób opisania grawitacji w zgodzie z zasadami mechaniki kwantowej. Postęp w tej dziedzinie jest znaczący i obejmuje sformułowanie wielu teorii: od takich, które analizują kwantowanie w przestrzeniach zakrzywionych, poprzez teorie pola posługujące się algebrą grassmanowską aż do teorii superstrun, niebędącej teorią pola. Wszystkie te teorie dają jakiś wgląd w możliwą naturę kwantowej grawitacji. Jednak brak jest spójnej teorii pozwalającej w dodatku na przewidywanie wyników doświadczeń, która unifikowałaby ogólną teorię względności i mechanikę kwantową.

Zobacz też

• antygrawitacja
• entropiczna grawitacja
• fale grawitacyjne
• grawiton
• oddziaływanie elektromagnetyczne
• oddziaływanie silne
• oddziaływanie słabe
• potencjał
• strefa Roche’a
• teoria inteligentnego spadania

Bibliografia

• L.D. Landau, J.M. Lifszyc, Teoria pola, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009.

Literatura

• P. Astier i in. 2006, A&A, 447, 31, The Supernova Legacy Survey: measurement of ΩM, ΩΛ and we from the first year data set (ang.)
• S. Perlmutter i in. 1998, ApJ, 517, 565, Measurements of Omega and Lambda from 42 High-Redshift Supernovae (ang.)

Linki zewnętrzne

Nagrania na YouTube [dostęp 2024-08-29]:

• polskojęzyczne:
  • Grawitacja, kanał Astronarium, 1 listopada 2016;
  • Jerzy Kijowski, Co to jest grawitacja?, kanał CFT PAN, 17 marca 2020;
  • Karolina Głowacka i Tomasz Bulik, Grawitacja – czym jest i jak działa siła, która trzyma nas na Ziemi?, kanał „Radio Naukowe”, 19 października 2023;
• anglojęzyczne:
  • Jon Bergmann, How to think about gravity, kanał TED-Ed, 17 września 2012;
  • Sabine Hossenfelder, Is Gravity a Force?, 7 marca 2020;
  • Derek Muller, Why Gravity is NOT a Force, kanał Veritasium, 9 października 2020;
  • Don Lincoln, Is gravity a force?, kanał Fermilabu, 5 kwietnia 2023.