Reguła de l’Hospitala

Reguła de l’Hospitala lub de l’Hôpitala^[a] – twierdzenie w analizie matematycznej, konkretniej analizie rzeczywistej i rachunku różniczkowym, umożliwiające obliczanie niektórych granic funkcji w sytuacjach, gdzie występują symbole nieoznaczone ${\frac {0}{0}}$ i ${\frac {\infty }{\infty }}$ . Twierdzenie to opisuje zarówno granice funkcji w punkcie, jak i w nieskończoności, a także zarówno granice właściwe – inaczej skończone – jak i niewłaściwe, czyli nieskończone.

Przykład zastosowania reguły de l’Hospitala dla funkcji ${\color {BurntOrange}f(x)}={\color {BurntOrange}\sin(x)}$ i ${\color {Red}g(x)}={\color {Red}-0{,}5x}{:}$ funkcja ${\color {Brown}h(x)}={\color {BurntOrange}f(x)}/{\color {Red}g(x)}$ jest nieokreślona w punkcie $x=0,$ ale może zostać rozszerzona jako funkcja ciągła na cały zbiór $\mathbb {R}$ , jeśli przyjmie się, że ${\color {Brown}h(0)}={\color {RoyalBlue}f'(0)}/{\color {Blue}g'(0)}=-2$ .

Twierdzenie

Podobne fakty

Bezpośrednio z definicji pochodnej funkcji można wykazać następujące twierdzenie:

Jeżeli funkcje

f

i

g

są określone w przedziale otwartym zawierającym punkt

a

oraz

$\lim _{x\to a}f(x)=0,$
$\lim _{x\to a}g(x)=0,$

oraz istnieją (skończone) pochodne

f'(a)

i

g'(a),

przy czym

g'(a)\neq 0,

wówczas

\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(a)}{g'(a)}}.

Jeśli dodatkowo

f

i

g

mają ciągłe pochodne w punkcie

a,

to^[1]^[2]:

\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.

Powyższe twierdzenie może być użyteczne w liczeniu granic wielu funkcji, np.

{\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\tfrac {e^{x}-e^{-x}}{\ln(e-x)+x-1}}&=\lim _{x\to 0}{\tfrac {(e^{x}+e^{-x})}{{\tfrac {-1}{e-x}}+1}}=\\=\lim _{x\to 0}{\tfrac {(e^{x}+e^{-x})}{\tfrac {-1+(e-x)}{e-x}}}&=\lim _{x\to 0}{\tfrac {(e^{x}+e^{-x})(e-x)}{-1+(e-x)}}={\tfrac {2e}{e-1}}.\end{aligned}}

Często zdarza się jednak, że funkcje $f$ i $g$ nie są określone w punkcie $a,$ jednak ich iloraz ma w tym punkcie granicę. Prawdziwe jest wówczas następujące twierdzenie, zwane regułą de l’Hospitala:

Wersja dla granic w punkcie

Niech funkcje $f$ i $g$ będą określone w przedziale $(a,b]$ oraz

$\lim _{x\to a^{+}}f(x)=0,$
$\lim _{x\to a^{+}}g(x)=0,$

lub

$\lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty ,$
$\lim _{x\to a^{+}}g(x)=\pm \infty ,$

oraz istnieją (skończone) pochodne $f'$ i $g'$ w przedziale $(a,b],$ przy czym $g'(x)\neq 0$ dla $x\in (a,b].$

Wówczas, jeśli istnieje granica

\lim _{x\to a^{+}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=K,

to wtedy również

\lim _{x\to a^{+}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=K.

Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic lewostronnych i obustronnych^[2]^[3]^[4].

Wersja dla granic w nieskończoności

Niech funkcje $f$ i $g$ będą określone w przedziale $[c,\infty )$ oraz

$\lim _{x\to \infty }f(x)=0,$
$\lim _{x\to \infty }g(x)=0,$

lub

$\lim _{x\to \infty }f(x)=\pm \infty ,$
$\lim _{x\to \infty }g(x)=\pm \infty ,$

oraz istnieją (skończone) pochodne $f'$ i $g'$ w przedziale $[c,\infty ),$ przy czym $g'(x)\neq 0$ dla $x\in [c,\infty ).$

Wówczas, jeśli istnieje granica

\lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=K,

to wtedy również

\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=K.

Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic gdy $x\to -\infty$ ^[2]^[3]^[4].

Wersja dla funkcji różniczkowalnych wielokrotnie

Jeżeli funkcje $f$ i $g$ są określone w przedziale otwartym $I$ zawierającym punkt $a$ oraz

w przedziale $I$ istnieją (skończone) pochodne wszystkich rzędów do $n$ włącznie funkcji $f$ i $g,$
$f(a)=f'(a)=\ldots =f^{(n-1)}(a)=0,$ $g(a)=g'(a)=\ldots =g^{(n-1)}(a)=0,$ oraz $g^{(n)}(a)\neq 0,$
$g(x)\neq 0$ dla $x\in I\setminus \{a\},$

wówczas

\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f^{(n)}(x)}{g^{(n)}(x)}}

^[2]^[4].

Historia

Guillaume François Antoine de l’Hospital (1661–1704)

Regułę tę opisał po raz pierwszy Johann Bernoulli, opublikował zaś jego uczeń Guillaume François Antoine de l’Hospital^[a]. W 1696 de l’Hospital wydał pierwszy podręcznik rachunku różniczkowego i całkowego L’Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes, w którym zawarto to twierdzenie. De l’Hospital nigdy nie twierdził, że jest autorem tego twierdzenia^{[potrzebny przypis]}, niemniej jednak nazwa reguła de l’Hospitala jest powszechnie używana.

Nazwa reguła de l’Hospitala pojawiła się najpóźniej w 1905 roku, w podręczniku analizy autorstwa Édouarda Goursata^[5]^[6].

Zobacz też

twierdzenie Stolza

Uwagi

↑ ^a ^b Ze względu na ewolucję pisowni francuskiej nazwisko „de l’Hospital” można również pisać „de l’Hôpital” bez (niemego) „s”, lecz z cyrkumfleksem nad „o”, co nie wpływa na wymowę – obie wersje wymawia się [dəlopi'tal].

Przypisy

↑ de L’Hospitala reguła, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-12-16] .
↑ ^a ^b ^c ^d Fichtenholz 1999 ↓, s. 275–281.
↑ ^a ^b Rudnicki 2006 ↓, s. 160–162.
↑ ^a ^b ^c Strzelecki 2018 ↓, s. 144–146.
↑ Jeff Miller, L’Hospital’s rule [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (L) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2024-07-11].
↑ John J. O’Connor; Edmund F. Robertson: Reguła de l’Hospitala w MacTutor History of Mathematics archive (ang.):
„It is almost certain that l’Hôpital’s rule, for finding the limit of a rational function whose numerator and denominator tend to zero at a point, is so named because Goursat named the rule after de l’Hôpital in his Cours d’analyse mathématique. Certainly the rule appears in earlier texts (for example it appears in the work of Euler), but Goursat is the first to attach de l'Hôpital's name to it”.

Bibliografia

Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. dwunaste. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999. ISBN 83-01-02175-6.
Ryszard Rudnicki: Wykłady z analizy matematycznej. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. ISBN 978-83-01-14946-8.
PawełP. Strzelecki PawełP., Analiza matematyczna I (skrypt wykładu) [online], mimuw.edu.pl, 14 grudnia 2018 [dostęp 2024-07-08] .

Linki zewnętrzne

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., L'Hospital's Rule, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-06-20].
L'Hospital rule (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-08-06].

[nazwisko-1] Ze względu na ewolucję pisowni francuskiej nazwisko „de l’Hospital” można również pisać „de l’Hôpital” bez (niemego) „s”, lecz z cyrkumfleksem nad „o”, co nie wpływa na wymowę – obie wersje wymawia się [dəlopi'tal].

[epwn-2] de L’Hospitala reguła, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-12-16] .

[CITEREFFichtenholz1999275–281-3] Fichtenholz 1999 ↓, s. 275–281.

[CITEREFRudnicki2006160–162-4] Rudnicki 2006 ↓, s. 160–162.

[CITEREFStrzelecki2018144–146-5] Strzelecki 2018 ↓, s. 144–146.

[6] Jeff Miller, L’Hospital’s rule [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (L) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2024-07-11].

[7] John J. O’Connor; Edmund F. Robertson: Reguła de l’Hospitala w MacTutor History of Mathematics archive (ang.):
„It is almost certain that l’Hôpital’s rule, for finding the limit of a rational function whose numerator and denominator tend to zero at a point, is so named because Goursat named the rule after de l’Hôpital in his Cours d’analyse mathématique. Certainly the rule appears in earlier texts (for example it appears in the work of Euler), but Goursat is the first to attach de l'Hôpital's name to it”.

[a]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]