Logarytm naturalny, logarytm Nepera, logarytm hiperboliczny[potrzebny przypis] – logarytm o podstawie (liczba Eulera), gdzie Oznaczany [1].
Nazwa „logarytm Nepera” pochodzi od nazwiska szkockiego matematyka Johna Nepera, który posługiwał się logarytmami o podstawie zbliżonej do
Logarytm naturalny liczby można zdefiniować jako pole pod wykresem funkcji w przedziale od do
Logarytm naturalny można zdefiniować również jako pewną granicę:
Oznaczmy:
| | |
|
(1) |
Wtedy Logarytmując obustronnie przy podstawie otrzymujemy:
Mnożąc obustronnie przez (1), otrzymujemy:
Teraz należy wykazać, że przy mianownik dąży do jednego. Otóż:
Gdy więc x dąży do zera, mianownik powyższego ułamka dąży do zera, więc z dąży do nieskończoności. Zatem wobec ciągłości logarytmu:
Wyrażenie w mianowniku dąży do więc mianownik jest równy co było do okazania.
Ogólnie pochodna logarytmu wyrażona jest wzorem:
Czyli dla logarytmu naturalnego, gdzie otrzymujemy:
Wartości pochodnych wyższych rzędów możemy wyznaczyć ze wzoru na -tą pochodną logarytmu naturalnego, czyli:
- dla
- dla
- dla
Powyższe własności jednoznacznie definiują funkcję
- dla
- Jeśli ciąg to:
- dla
- dla
- dla