Przejdź do zawartości

Logarytm naturalny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Wykres logarytmu naturalnego w kartezjańskim układzie współrzędnych

Logarytm naturalny, logarytm Nepera, logarytm hiperboliczny[potrzebny przypis]logarytm o podstawie (liczba Eulera), gdzie Oznaczany [1].

Nazwa „logarytm Nepera” pochodzi od nazwiska szkockiego matematyka Johna Nepera, który posługiwał się logarytmami o podstawie zbliżonej do

Logarytm jako pole pod wykresem

[edytuj | edytuj kod]
Logarytm naturalny ln(x) jako całka z funkcji 1/x

Logarytm naturalny liczby można zdefiniować jako pole pod wykresem funkcji w przedziale od do

Logarytm jako granica

[edytuj | edytuj kod]

Logarytm naturalny można zdefiniować również jako pewną granicę:

Dowód

[edytuj | edytuj kod]

Oznaczmy:

(1)

Wtedy Logarytmując obustronnie przy podstawie otrzymujemy:

Mnożąc obustronnie przez (1), otrzymujemy:

Teraz należy wykazać, że przy mianownik dąży do jednego. Otóż:

Gdy więc x dąży do zera, mianownik powyższego ułamka dąży do zera, więc z dąży do nieskończoności. Zatem wobec ciągłości logarytmu:

Wyrażenie w mianowniku dąży do więc mianownik jest równy co było do okazania.

Pochodna logarytmu naturalnego

[edytuj | edytuj kod]

Ogólnie pochodna logarytmu wyrażona jest wzorem:

Czyli dla logarytmu naturalnego, gdzie otrzymujemy:

Wartości pochodnych wyższych rzędów możemy wyznaczyć ze wzoru na -tą pochodną logarytmu naturalnego, czyli:

Własności

[edytuj | edytuj kod]
  • dla
  • dla
  • dla

Powyższe własności jednoznacznie definiują funkcję

  • dla
  • Jeśli ciąg to:
  • dla
dla
dla

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. logarytm naturalny, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-08-30].

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]