Półgrupa transformacji

Półgrupa transformacji – półgrupa wszystkich funkcji (transformacji) pewnego zbioru w siebie z działaniem składania. Nazywana również pełną półgrupą transformacji dla odróżnienia od jej podpółgrup. Jest podpółgrupą półgrupy relacji binarnych na zbiorze, a także półgrupy transformacji częściowych zbioru w siebie. Półgrupa transformacji zbioru zawiera grupę permutacji tego zbioru jako podpółgrupę.

Oznaczenia

A.H. Clifford i G.B. Preston oznaczają półgrupę wszystkich transformacji zbioru $X$ symbolem ${\mathcal {T}}_{X}$ i będzie on stosowany również poniżej. J.M. Howie używa symbolu ${\mathcal {T}}(X)$.

W poniższym stosowana będzie standardowa w teorii półgrup konwencja pisania argumentów funkcji na lewo od symbolu oznaczającego funkcję. Tak więc zamiast $\phi (x),$ pisać będziemy $x\phi .$

Relacje Greena i regularność

Relacje Greena na ${\mathcal {T}}_{X}$ dają się scharakteryzować za pomocą poniższego twierdzenia.

Charakteryzacja relacji Greena

Niech $\alpha ,\,\beta \in {\mathcal {T}}_{X}.$ Niech, dla każdego $\phi \in {\mathcal {T}}_{X},\,\,\pi _{\phi }$ oznacza relację następującą relację równoważności (jądro $\phi$):

$x\,\pi _{\phi }\,y$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x\phi =y\phi .$

Wtedy

$\alpha \,{\mathcal {L}}\,\beta$ wtedy i tylko wtedy, gdy $X\alpha =X\beta$ (czyli $\alpha$ i $\beta$ mają ten sam obraz);

$\alpha \,{\mathcal {R}}\,\beta$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\pi _{\alpha }=\phi \beta$ (czyli $\alpha$ i $\beta$ mają to samo jądro);

$\alpha \,{\mathcal {D}}\,\beta$ wtedy i tylko wtedy, gdy $|X\alpha |=|X\beta |$ (czyli obrazy $\alpha$ i $\beta$ mają równą moc);

${\mathcal {D}}={\mathcal {J}}.$

Klasy relacji ${\mathcal {H}}$ są oczywiście przecięciami klas relacji ${\mathcal {L}}$ i ${\mathcal {R}}.$

Regularność

Łatwo jest w ${\mathcal {T}}_{X}$ zidentyfikować idempotenty; są to po prostu rzuty, czyli przekształcenia działające identycznościowo na swoim obrazie. Stąd i z powyższego twierdzenia wynika regularność ${\mathcal {T}}_{X}.$