Teoria odnowy

Teoria odnowy – dział rachunku prawdopodobieństwa, który uogólnia procesy Poissona na takie, w których odstępy między zdarzeniami (tutaj zwanymi odnowami) mają dowolny rozkład.

Proces odnowy

Strumień odnowy

Zdefiniujemy teraz pojęcie strumienia odnowy. Jest to zmienna losowa interpretowana jako chwila $n$-tej odnowy. Niech $(X_{n})_{n\geqslant 0}$ będzie ciągiem niezależnych, nieujemnych zmiennych losowych, takim że zmienne $(X_{n})_{n\geqslant 1}$ spełniają warunki:

• $X_{n}\sim F,$
• $\lim _{x\to 0^{-}}F(x)=0,$
• $F(0)<1.$

Gdzie $F$ oznacza dystrybuantę zmiennej losowej $X_{1}.$ Zmienne $(X_{n})_{n\geqslant 0}$ interpretuje się, jako czasy pomiędzy odnowami.

Strumieniem odnowy nazywamy ciąg zmiennych losowych zdefiniowany następująco:

$S_{n}=\sum _{i=0}^{n}X_{i}.$ Zatem $S_{n}$ oznacza czas $n$-tej odnowy.

Strumienie proste i ogólne

Ze względu na rozkład zmiennej $X_{0}$ stosuje się następujący podział:

• Strumień odnowy nazywamy strumieniem prostym, jeśli $P(X_{0}>0)=0.$
• Strumień odnowy nazywamy strumieniem ogólnym, jeśli $P(X_{0}>0)>0.$

Definicja

Proces odnowy definiuje się analogicznie jak liczbę zgłoszeń w procesie Poissona. Procesem odnowy nazywamy następującą zmienną losową:

$N_{t}={\begin{cases}0,&X_{0}>t\\\sup\{n:S_{n}\leqslant t\},&X_{0}\leqslant t\end{cases}}$ dla strumienia ogólnego,

$N_{t}=\sup\{n:S_{n}\leqslant t\}$ dla strumienia prostego.

Równoważnie dla obu strumieni, można zapisać:

$N_{t}=\sum _{n=0}^{\infty }\mathbf {1} _{[0,t]}(S_{n}).$

Różnica w definicji procesu odnowy dla strumienia ogólnego i prostego, wynika z definicji tych strumieni. Strumień prosty w czasie $t=0$ z prawdopodobieństwem 1 ma wartość 0, zatem nigdy nie bierzemy kresu górnego zbioru pustego. W przypadku strumienia ogólnego wykluczamy tę możliwość przez podanie dodatkowego warunku.

Funkcja odnowy

Funkcją odnowy (zwaną też funkcją średnią procesu odnowy, analogicznie do funkcji średniej niejednorodnego procesu Poissona) nazywamy funkcję $m(t)=E(N_{t}).$

Związki funkcji odnowy z rozkładem zmiennych $X_{n}$

• Funkcja odnowy jednoznacznie określa rozkład zmiennych $X_{n}.$

• Zachodzi równanie odnowy $m(t)=F(t)+\int _{0}^{t}m(t-x)dF(x).$

Twierdzenia graniczne

Poniżej są podane pewne twierdzenia o zachowaniu się procesu odnowy przy $t\to \infty .$ Niech $\mu =E(X_{1}).$

• Z prawdopodobieństwem 1 zachodzi zbieżność: ${\frac {N_{t}}{t}}{\xrightarrow {t\to \infty }}{\frac {1}{\mu }}.$

• Elementarne twierdzenie odnowy: ${\frac {E(N_{t})}{t}}{\xrightarrow {t\to \infty }}{\frac {1}{\mu }}.$

Złożony proces odnowy

Pojęcie złożonego procesu odnowy jest uogólnieniem pojęcia procesu odnowy. Złożony proces odnowy określany jest także mianem procesu odnowy wypłat. Nazwa ta odzwierciedla wygodną interpretację tego procesu. Mianowicie dla każdej chwili odnowy $S_{n}$ przyporządkowujemy zmienną losową $R_{n}$ zwaną wypłatą. O zmiennych $(R_{n})_{n\geqslant 1}$ zakładamy, że są niezależne o jednakowym rozkładzie. Zmienne $(R_{n})_{n\geqslant 1}$ mogą natomiast być zależne od $(S_{n})_{n\geqslant 1}$

Definicja

Złożonym procesem odnowy nazywamy zmienną losową określoną następująco:

$R(t)=\sum _{n=1}^{N_{t}}R_{n}.$

$R(t)$ przy podanej wyżej interpretacji oznacza łączną wypłatę do chwili $t.$ Gdy $R_{n}=1$ to $R(t)=N(t),$ dlatego proces odnowy jest szczególnym przypadkiem złożonego procesu odnowy.

Średnia wypłata w długim okresie

Podamy teraz twierdzenie, które mówi jak zachowuje się wyrażenie $R(t)/t$ dla $t\to \infty ,$ oznaczające przy ustalonym $t$ średnią wygraną do czasu $t.$

Niech $\rho =E(R_{1}),\mu =E(X_{1}).$ Wtedy jeśli $\mu ,\rho \leqslant \infty$ to z prawdopodobieństwem 1 istnieje granica:

$\lim _{t\to \infty }{\frac {R(t)}{t}}={\frac {\rho }{\mu }}.$

Zatem średnia wygrana w długim okresie jest równa średniej wygranej w jednej odnowie podzielonej przez średnią długość czasu jednej odnowy.