Zasada zachowania momentu pędu

Zasada zachowania momentu pędu – jedna z zasad zachowania w mechanice.

Treść zasady:

Dla dowolnego izolowanego układu punktów materialnych całkowita suma ich momentów pędu jest stała.

W przypadku bryły sztywnej zasadę tę można sformułować następująco:

Moment pędu bryły pozostaje stały, gdy nie działa na nią żaden moment siły zewnętrznej.

co można zapisać wzorem

$\operatorname {const} {\vec {L}}$

lub

${\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}=0,$

przy czym wzór ten można traktować jako szczególny przypadek równania wyrażającego zależność momentu pędu od momentu siły $M$

${\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {M}}.$

Konsekwencje

Z zasady zachowania momentu pędu i definicji momentu pędu

${\vec {L}}=I{\vec {\omega }}$

(przykład definicji momentu pędu dla ustalonej osi) wynika, że prędkość kątowa $\omega$ rośnie, gdy maleje moment bezwładności $I.$

Jedną z konsekwencji zasady zachowania momentu pędu są znaczne prędkości kątowe gwiazd neutronowych, dochodzące do kilkuset obrotów na minutę (pulsary milisekundowe) uzyskiwane na skutek kolapsu grawitacyjnego i zmniejszenia momentu bezwładności.

Dowód poprawności

Zasada zachowania momentu pędu wynika z niezmienności hamiltonianu względem obrotów w przestrzeni.

Moment pędu układu $N$ cząstek można zapisać

${\vec {L}}=\sum _{i=1}^{N}{\vec {r_{i}}}\times (m_{i}{\dot {\vec {r_{i}}}}).$

Różniczkując po czasie powyższe wyrażenie, otrzymujemy

${\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i=1}^{N}{\dot {\vec {r_{i}}}}\times (m_{i}{\dot {\vec {r_{i}}}})+\sum _{i=1}^{N}{\vec {r_{i}}}\times (m_{i}{\ddot {\vec {r_{i}}}}).$

Ponieważ iloczyn wektorowy ${\dot {\vec {r_{i}}}}\times {\dot {\vec {r_{i}}}}=0$ oraz $m_{i}{\ddot {\vec {r_{i}}}}={\vec {F_{i}}},$ to pozostaje tylko obliczyć iloczyn ${\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{i}}}.$

W tym celu rozbijemy siłę działającą na każdą cząstkę na składową pochodzącą z oddziaływań z innymi cząstkami (człony ${\vec {F}}_{ij}$) oraz składową pochodzącą z zewnątrz układu

$\sum _{i=1}^{N}{\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{i}}}=\sum _{i=1}^{N}({\vec {r_{i}}}\times (\sum _{i\neq j}^{N}{\vec {F_{ij}}}+{\vec {F_{i}}}'))=\sum _{i=1}^{N}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}'.$

Ponieważ

${\vec {F_{ij}}}=-{\vec {F_{ji}}},$

to

${\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{ij}}}=-{\vec {r_{j}}}\times {\vec {F_{ji}}},$

a dla każdej siły

${\vec {F_{ij}}}$

występuje siła

${\vec {F_{ji}}}.$

Stąd suma wszystkich momentów sił oddziaływania jest równa 0.

Zatem

${\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i=1}^{N}{\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{i}}}'.$

Jeżeli układ jest odosobniony, to

${\vec {F}}_{i}'=0,$

czyli

$\operatorname {const} {\vec {L}}.$

Zobacz też

• zasada zachowania pędu