Mzura esterior

	Vos an lenga piemontèisa
	Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì.

Ch'as consìdero n'ansem E e na fonsion $\alpha :{\mathcal {P}}(E)\to [0,+\infty ]$ definìa an sla famija dij sot-ansem d'E e ch'a peul pijé valor reaj nen negativ o ëdcò $+\infty$ . La fonsion α a l'é dita mzura esterior ansima a E s'a valo le relassion:

$\alpha (\emptyset )=0$ ,
$F\subseteq \bigcup _{h\in \mathbb {N} }F_{h}\subseteq E\Rightarrow \alpha (F)\leq \sum _{h=0}^{\infty }\alpha (F_{h})$ .

N'ansem $F\subseteq E$ a l'é dit α-mzuràbil conforma a Charathéodory si për minca $G\subseteq E$ a val l'ugualiansa

\alpha (G)=\alpha (G\cap F)+\alpha (G-F)

.

Chèich proprietà

Teorema. Ch'as consìdera na mzura esterior α ansima a E. La famija ${\mathcal {M}}$ dj'ansem α-mzuràbij a l'é na σ-àlgebra.

Teorema. Na mzura esterior α a l'é σ-aditiva an sj'ansem α-mzuràbij, visadì si $\{B_{h}\}_{h\in \mathbb {N} }$ a l'é na famija d'ansem α-mzuràbij a doi a doi disgionzù, antlora

\alpha (\bigcup _{h\in \mathbb {N} }B_{h})=\sum _{h=0}^{\infty }\alpha (B_{h})

.

Generassion dë mzure esterior

A-i son vàire manere ëd creé dle mzure esterior.

Ch'as fisso n'ansem E e na famija ${\mathcal {F}}$ ëd sot-ansem d'E tal che $\emptyset \in {\mathcal {F}}$ . Ch'as consìdera na fonsion $\alpha :{\mathcal {F}}\to [0,+\infty ]$ , con $\alpha (\emptyset )=0$ . As peul antlora definì na fonsion $\alpha ^{*}:{\mathcal {P}}(E)\to [0,+\infty ]$ an butand:

$\alpha ^{*}(F)=\inf\{\sum _{h=0}^{\infty }\alpha (F_{h})\mid F_{h}\in {\mathcal {F}},F\subseteq \bigcup _{h\in \mathbb {N} }F_{h}\}$ si l'ansem dont as fa l'estrem superior a l'é nen veuid;
dësnò, $\alpha ^{*}(F)=+\infty$ .

Antlora la fonsion $\alpha ^{*}$ a l'é na mzura esterior.

N'àutra manera për generé na mzura esterior, a l'é col ëd parte da na famija $\alpha _{\lambda }$ dë mzure esterior e definì $\alpha (F)=\sup _{\lambda }\alpha _{\lambda }(F)$ për minca $F\subseteq E$ .

Mzure ëd Carathéodory

Na mzura esterior α ansima a në spassi métrich M a l'é dita mzura ëd Carathéodory si, për minca cobia (E,F) ëd sot-ansem d'M a val l'amplicassion $d(E,F)>0\Rightarrow \alpha (E\cup F)=\alpha (E)+\alpha (F)$ .