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Espaço conexo: diferenças entre revisões

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[[Imagem:Simply connected, connected, and non-connected spaces.svg|thumb|De cima para baixo: os espaços vermelho ''A'', magenta ''B'', amarelo ''C'' e laranja ''D'' são todos '''conexos''', enquanto o espaço verde ''E'' (composto pelos [[subconjunto]]s E1, E2, E3 e E4) é '''desconexo'''. Para além disso, ''A'' e ''B'' são também '''[[Grupo fundamental|simplesmente conexos]]''' ([[Género (matemática)|género]] 0), enquanto ''C'' e ''D'' não o são: ''C'' tem género 1 e ''D'' tem género 4.]]
{{sem-fontes|data=junho de 2009}}
[[Imagem:Connected_and_disconnected_spaces.svg|thumb|''A'' é um espaço conexo e ''B'' é desconexo, tendo 4 componentes conexas]]
Um [[espaço topológico]] diz-se '''desconexo''' se contém dois [[conjunto aberto|abertos]] complementares [[conjunto vazio|não vazios]]. Em caso contrário diz-se '''conexo'''.


Em [[Topologia (matemática)|topologia]], {{PBPE|conexidade|conectividade}} é a propriedade de um '''espaço conexo''', isto é, um espaço topológico que não pode ser representado como a união de dois ou mais conjuntos abertos disjuntos e não-vazios.{{Sfn|Lima|1981|p=54}}
Os subconjuntos <math>\varnothing\,</math> e ''X'' são, ao mesmo tempo, abertos e fechados em qualquer topologia de ''X''. Se eles são os únicos conjuntos abertos e fechados, então ''X'' é conexo. Por outro lado, se existe ''A'' aberto e fechado com <math>\varnothing\, \subset A \subset X\,</math>, então ''X'' é desconexo.


==Propriedades==
== Definição ==
*A [[união (matemática)|união]] de qualquer [[família (matemática)|família]] de subespaços conexos de ''X'', cuja intersecção é não vazia, é um subespaço conexo de ''X''.


Uma ''cisão'' de um conjunto é a decomposição <math>X=A \cup B</math> em dois [[Conjunto aberto|abertos]] [[Conjuntos disjuntos|disjuntos]]. Todo conjunto admite a ''cisão trivial'' em que <math>A=X</math> e <math>B=\emptyset</math>. Um conjunto chama-se '''conexo''' quando admite apenas a cisão trivial.{{Sfn|Lima|1981|p=54}}
==Componentes conexas==
*Uma '''componente conexa''' de um espaço topológico é um subespaço conexo maximal.


=== Equivalências ===
==Exemplos==
[[Imagem:Sin1over x.svg|thumb|left|Um espaço conexo que não é [[conexo por arcos]].]]
*<math>\R</math> e <math>\mathbb{C}</math> são conexos.
*<math>\N</math>, <math>\Z</math> e <math>\mathbb{Q}</math> são desconexos.
*No <math>\R^2\,</math>, o gráfico da função
:<math>f(x) = \left\{\begin{matrix}
\mbox{sen} \frac {1} {x}, & \mbox{se } x \ne 0 \\
0, & \mbox{se } x = 0 \end{matrix}\right.</math>
é conexo. Este é o [[contra-exemplo]] padrão de um espaço conexo que não é [[conexo por arcos]].


Os subconjuntos <math>\emptyset</math> e <math> X </math> são, ao mesmo tempo, [[Conjunto aberto|abertos]] e [[Conjunto fechado|fechados]] em qualquer topologia de <math> X</math>. Assim, equivalentemente, se eles são os únicos conjuntos abertos e fechados, então <math> X </math> é conexo. Por outro lado, se existe <math> A </math> não-vazio aberto e fechado em <math>X</math>, então <math>X</math> é desconexo.{{Sfn|Lima|1981|p=55}}
=={{Ver também}}==
*[[conexo por arcos|conexidade por arcos]]
*[[grupo fundamental|conexidade simples]].


== Exemplos ==
{{esboço-matemática}}
* <math>\R</math> e <math>\mathbb{C}</math> são conexos, enquanto <math>\N,</math> <math>\Z</math> e <math>\mathbb{Q}</math> são desconexos.
[[Categoria:Topologia]]
* Em <math>\R</math>, os únicos subconjuntos conexos são os intervalos.{{Sfn|Lima|1981|p=55|loc=Teorema 31}}
* <math>\R-\{0\}</math> é desconexo pois possui a cisão não-trivial <math>(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)</math>.{{Sfn|Lima|1981|p=54}}


== Propriedades ==
[[ar:فضاء متصل]]

[[cs:Souvislá množina]]
* A [[imagem]] de um conexo por uma [[aplicação contínua]] é um conexo.{{Sfn|Lima|1981|p=55|loc=Teorema 30}}
[[de:Zusammenhängender Raum]]
* Todo conjunto [[Homeomorfismo|homeomorfo]] a um conexo é conexo.{{Sfn|Lima|1981|p=55|loc=Teorema 30}}
[[en:Connected space]]
* A [[união (matemática)|união]] de uma família de conjuntos conexos que possuam um ponto em comum é conexa.{{Sfn|Lima|1981|p=57|loc=Teorema 33}}
[[es:Conjunto conexo]]
* O [[produto cartesiano]] de dois conjuntos é conexo se, e somente se, ambos são conexos.{{Sfn|Lima|1981|p=57|loc=Teorema 33}}
[[fa:فضای هم‌بند]]
* O [[fecho]] de um [[conjunto conexo]] é conexo.{{Sfn|Lima|1981|p=59|loc=Teorema 35}}
[[fi:Polkuyhtenäisyys]]

[[fr:Connexité (mathématiques)]]
== Componentes conexas ==
[[he:קשירות (טופולוגיה)]]
Mesmo que um conjunto <math>X</math> não seja conexo, ele sempre poderá ser representado pela [[união disjunta]] de suas ''componentes conexas''.{{Sfn|Lima|1981|p=63}}
[[is:Samhangandi mengi]]

[[it:Spazio connesso]]
A componente conexa <math>C_x</math> é o maior subconjunto conexo que contém <math>x \in X</math>.{{Sfn|Lima|1981|p=63}} Para quaisquer dois pontos de <math>X</math>, suas componentes conexas ou coincidem ou são disjuntas. Se possuem um ponto em comum, são a mesma componente conexa, pois a componente conexa é o maior subconjunto conexo contendo um dado ponto; se não possuem, são disjuntas.{{Sfn|Lima|1981|p=63}}
[[ja:連結空間]]

[[ko:연결공간]]
Por exemplo, para <math>\R-\{0\}</math>, a componente conexa de <math>-1</math> é <math>(-\infty, 0)</math> e a componente conexa de <math>1</math> é <math>(0,
[[nl:Samenhang]]
+\infty)</math>. No caso, essas são as duas componentes conexas do conjunto.{{Sfn|Lima|1981|p=63}}
[[pl:Przestrzeń spójna]]

[[ru:Связное пространство]]
=== Propriedades ===
[[sl:Povezanost]]

[[sv:Sammanhängande rum]]
Toda componente conexa de <math>X</math> é um conjunto fechado em <math>X</math>.{{Sfn|Lima|1981|p=63}}
[[uk:Зв'язаний простір]]

[[vi:Tập hợp liên thông]]
[[Homeomorfismo]]s estabelecem, entre os dois espaços, uma bijeção entre as componentes conexas de um com as componentes conexas do outro.{{Sfn|Lima|1981|p=63}} Sendo assim, dois conjuntos homeomorfos possuem a mesma quantidade de componentes conexas.{{Sfn|Lima|1981|p=63}}
[[zh:连通空间]]

[[zh-classical:道路連通]]
== Conexo por caminhos ==
[[Imagem:Path-connected space.svg|thumb|Um espaço conexo por caminhos]]
[[Imagem:Sin1over x.svg|thumb|Um espaço conexo que não é conexo por caminhos.]]
Um tipo de conexidade mais estrita é a ''conexidade por caminhos''.{{Sfn|Lima|1981|p=59}}

Um ''caminho'' num conjunto <math>X\subset\R^n</math> é uma [[função contínua]] definida num [[intervalo (matemática)|intervalo]] real que passa por pontos de <math>X</math>. Dois pontos podem ser ligados por um caminho quando existe um caminho <math>f</math> tal que esses pontos estejam na [[imagem (matemática)|imagem]] de <math>f</math>.{{Sfn|Lima|1981|pp=59-60}} Um conjunto se diz ''conexo por caminhos'' quando quaisquer dois pontos podem ser ligados por um caminho.{{Sfn|Lima|1981|pp=59-60}}

Todo conjunto conexo por caminhos é conexo, mas a recíproca é falsa.{{Sfn|Lima|1981|p=61}} Por exemplo, no <math>\R^2,</math> o gráfico da função <math>f(x) = \mbox{sen} \frac{1}{x}</math> para <math>0 < x \leq 1</math> com a origem <math>(0,0)</math> é conexo mas não é conexo por caminhos.{{Sfn|Lima|1981|p=61}}

=== Propriedades ===

* A [[União (matemática)|união]] de dois conjuntos conexos por caminhos, de [[interseção]] não-vazia, é conexa por caminhos.{{carece de fontes|data=abril de 2023}}
* A [[topologia produto]] de dois conjuntos conexos por caminhos é conexa por caminhos.{{carece de fontes|data=abril de 2023}}
* Todo conjunto [[Conjunto convexo|convexo]] é conexo por caminhos.{{Sfn|Lima|1981|p=60}}
* No <math>\R^n</math>, um conjunto [[Conjunto aberto|aberto]] é conexo se, e somente se, é conexo por caminhos.{{Sfn|Lima|1981|p=61|loc=Teorema 36}}

== Ver também ==
* [[grupo fundamental|Conexidade simples]]

{{Referências}}

== Bibliografia ==
* {{Citar livro|título=Curso de análise, Volume 2|ultimo=Lima|primeiro=Elon Lages|autorlink=Elon Lages Lima|data=1981|outros=Instituto de Matemática Pura e Aplicada|local=Rio de Janeiro|editora=Instituto de Matemática Pura e Aplicada|ref=harv}}
* {{Citation |último1=Munkres |primeiro1=James R. |autorlink1=James R. Munkres |título=Topology |publicado=[[Prentice Hall, Incorporated]] |local= | isbn=9780131816299 |ano=2000}}.

[[Categoria:Topologia (matemática)]]

Edição atual tal como às 02h31min de 18 de setembro de 2024

De cima para baixo: os espaços vermelho A, magenta B, amarelo C e laranja D são todos conexos, enquanto o espaço verde E (composto pelos subconjuntos E1, E2, E3 e E4) é desconexo. Para além disso, A e B são também simplesmente conexos (género 0), enquanto C e D não o são: C tem género 1 e D tem género 4.

Em topologia, conexidade (português brasileiro) ou conectividade (português europeu) é a propriedade de um espaço conexo, isto é, um espaço topológico que não pode ser representado como a união de dois ou mais conjuntos abertos disjuntos e não-vazios.[1]

Uma cisão de um conjunto é a decomposição em dois abertos disjuntos. Todo conjunto admite a cisão trivial em que e . Um conjunto chama-se conexo quando admite apenas a cisão trivial.[1]

Equivalências

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Os subconjuntos e são, ao mesmo tempo, abertos e fechados em qualquer topologia de . Assim, equivalentemente, se eles são os únicos conjuntos abertos e fechados, então é conexo. Por outro lado, se existe não-vazio aberto e fechado em , então é desconexo.[2]

  • e são conexos, enquanto e são desconexos.
  • Em , os únicos subconjuntos conexos são os intervalos.[3]
  • é desconexo pois possui a cisão não-trivial .[1]

Componentes conexas

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Mesmo que um conjunto não seja conexo, ele sempre poderá ser representado pela união disjunta de suas componentes conexas.[7]

A componente conexa é o maior subconjunto conexo que contém .[7] Para quaisquer dois pontos de , suas componentes conexas ou coincidem ou são disjuntas. Se possuem um ponto em comum, são a mesma componente conexa, pois a componente conexa é o maior subconjunto conexo contendo um dado ponto; se não possuem, são disjuntas.[7]

Por exemplo, para , a componente conexa de é e a componente conexa de é . No caso, essas são as duas componentes conexas do conjunto.[7]

Toda componente conexa de é um conjunto fechado em .[7]

Homeomorfismos estabelecem, entre os dois espaços, uma bijeção entre as componentes conexas de um com as componentes conexas do outro.[7] Sendo assim, dois conjuntos homeomorfos possuem a mesma quantidade de componentes conexas.[7]

Conexo por caminhos

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Um espaço conexo por caminhos
Um espaço conexo que não é conexo por caminhos.

Um tipo de conexidade mais estrita é a conexidade por caminhos.[8]

Um caminho num conjunto é uma função contínua definida num intervalo real que passa por pontos de . Dois pontos podem ser ligados por um caminho quando existe um caminho tal que esses pontos estejam na imagem de .[9] Um conjunto se diz conexo por caminhos quando quaisquer dois pontos podem ser ligados por um caminho.[9]

Todo conjunto conexo por caminhos é conexo, mas a recíproca é falsa.[10] Por exemplo, no o gráfico da função para com a origem é conexo mas não é conexo por caminhos.[10]

Referências

  1. a b c Lima 1981, p. 54.
  2. Lima 1981, p. 55.
  3. Lima 1981, p. 55, Teorema 31.
  4. a b Lima 1981, p. 55, Teorema 30.
  5. a b Lima 1981, p. 57, Teorema 33.
  6. Lima 1981, p. 59, Teorema 35.
  7. a b c d e f g Lima 1981, p. 63.
  8. Lima 1981, p. 59.
  9. a b Lima 1981, pp. 59-60.
  10. a b Lima 1981, p. 61.
  11. Lima 1981, p. 60.
  12. Lima 1981, p. 61, Teorema 36.