Espaço conexo
Este artigo não cita fontes confiáveis. (Junho de 2009) |
Uma cisão de um subconjunto é uma decomposição , onde e os conjuntos são ambos abertos em .
Todo conjunto admite pelo menos a cisão trivial .
Um conjunto chama-se conexo quando não admite outra cisão além da trivial. Assim quando é conexo, se existirem conjuntos tais que com então ou .
Quando exitir uma cisão não-trivial , diremos que é desconexo.
Do ponto de vista da topologia dizemos que, um espaço topológico é desconexo se contém dois abertos complementares não vazios. Em caso contrário diz-se conexo.
Os subconjuntos e X são, ao mesmo tempo, abertos e fechados em qualquer topologia de X. Se eles são os únicos conjuntos abertos e fechados, então X é conexo. Por outro lado, se existe A aberto e fechado com , então X é desconexo.
Propriedades
- A união de qualquer família de subespaços conexos de X, cuja intersecção é não vazia, é um subespaço conexo de X.
- A imagem de um conjunto conexo por uma aplicação contínua é um conjunto conexo.
- Todo conjunto homeomorfo a um conjunto conexo é também um conjunto conexo.
Componentes conexas
- Uma componente conexa de um espaço topológico é um subespaço conexo maximal.
Exemplos
- e são conexos.
- , e são desconexos.
- No , o gráfico da função
é conexo. Este é o contra-exemplo padrão de um espaço conexo que não é conexo por arcos.
Ver também
Referências
- Lima, Elon L. (2006), Curso de Análise Vol.2, ISBN 85-244-0049-8, Rio De Janeiro: IMPA