Mostrar código-fonte de Hessiano

{{Cálculo}}

Em [[matemática]], a '''matriz Hessiana''' de uma [[função (matemática)|função]] "f" de ''n'' variáveis é a [[matriz quadrada]] com "n" colunas e "n" linhas (n X n) das [[derivada parcial|derivadas parciais]] de segunda ordem da função. Por isto, esta [[Matriz (matemática)|matriz]] descreve a [[curvatura]] local da função "f". Matrizes Hessianas são usadas em larga escala em problemas de [[otimização]] que não usam métodos Newtonianos.

A [[matriz hessiana]] foi desenvolvida no [[século XIX]] pelo [[Alemanha|alemão]] [[Ludwig Otto Hesse]], razão pela qual mais tarde [[James Joseph Sylvester]] lhe deu este nome. O próprio Hesse, ao contrário, usava o termo "determinantes funcionais".

== Definição formal em termos matemáticos ==
{{Artigo principal|função}}
{{Artigo principal|Matriz (matemática)}}
{{Artigo principal|derivada parcial}}

Dada uma [[função (matemática)|função]] [[número real|real]] de ''n'' [[Variável (matemática)|variáveis]] reais

<math display="block">f(\mathbf{x})=f({x_1}, {x_2}, {x_3} ..., x_n),</math>
sendo que '''x''' (em negrito) indica o [[Vetor (matemática)|vetor]] de dimensão <math>n \times 1</math> das variáveis <math>{x_1}, {x_2}, {x_3} ..., x_n.</math>

Lembre-se da notação para as [[derivada parcial|derivadas parciais]] da [[função (matemática)|função]] em relação às [[Variável (matemática)|variáveis]]:

{| class="wikitable"
|-
!  Em [[linguagem]] [[matemática]] !! Em [[Língua portuguesa|Português]] !! Exemplo: [[função (matemática)|função]] com n=2: <math>f(\mathbf{x})=f \left ( {x_1}, {x_2} \right )=2{x_1}{x_2}^3</math>
|-
| <math>\frac{\partial f}{\partial {x_1}}</math> || [[derivada parcial]] de primeira ordem da [[função (matemática)|função]] "f" em relação a uma [[Variável (matemática)|variável]] <math>{x_1}</math> || <math>\frac{\partial f}{\partial {x_1}}=\frac{\partial \left( 2{x_1}{x_2}^3 \right )}{\partial {x_1}}=2{x_2}^3</math>
|-
| <math>\frac {\partial}{\partial {x_1}} \left( \frac { \partial f }{ \partial {x_2}} \right)=\frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}\,\partial {x_2}}</math> || A derivada da derivada (=derivada de segunda ordem): primeiro tomou-se a derivada da função "f" em relação à variável <math>{x_2}</math> e depois derivou-se esta derivada em relação à variável <math>{x_1}</math>.<ref>SIMON & BLUME (2004), p. 339.</ref> || <math>\frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}\,\partial {x_2}}</math><math>=\frac{\partial \left ( 2{x_2}^3 \right )}{\partial \partial {x_2}}</math><math>=6{x_2}^2</math>
|}

Se todas as derivadas parciais de "f" existirem, então a [[Matriz (matemática)|matriz]] hessiana de f é a [[matriz quadrada]] das derivadas de segunda ordem de f:<ref>SIMON & BLUME (2004), p. 340.</ref>

<math display="block">H \left [ f({x_1}, {x_2}, {x_3}, ..., x_n) \right]  = \begin{bmatrix}

\frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}\,\partial {x_2}} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}\,\partial x_n} \\  \\

\frac{\partial^2 f}{\partial {x_2}\,\partial {x_1}} & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_2}^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_2}\,\partial x_n} \\  \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\

\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial {x_1}} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial {x_2}} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}
\end{bmatrix}</math>

Uma outra definição equivalente é: dado o [[Vetor (matemática)|vetor]] [[gradiente]] nX1, a [[Matriz (matemática)|matriz]] hessiana é sua [[derivada]].<ref>INTRILIGATOR (1971), p. 498.</ref> Por isso, há outras representações para a mesma matriz hessiana H acima:<ref>INTRILIGATOR (1971), p. 499.</ref><ref>MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael D, e GREEN, Jerry R. ''Microeconomic Theory''. Oxford University press, 1995. ISBN 978-0-19-507340-9. Mathematiocal Appendix, "M.A Matrix Notation for Derivatives", p. 927.</ref>
<math display="block">H=D \left [\nabla f \left ( \mathbf{x} \right ) \right ] =D^2f_\mathbf{x}=D^2f \left ( \mathbf{x} \right )=\frac{\partial^2 f}{\partial (\mathbf{x})}(\mathbf{x})</math>

== Propriedades da matriz hessiana ==
* '''Dimensão''': Como uma [[função (matemática)|função]] com "n" variáveis tem n<sup>2</sup> [[derivada parcial|derivadas parciais]] de segunda ordem, a [[Matriz (matemática)|matriz]] hessiana também terá n<sup>2</sup> elementos. Por isto, ela sempre será uma [[matriz quadrada]] de dimensão nXn.
* Fora da diagonal principal, uma [[Matriz (matemática)|matriz]] hessiana é composta por '''derivadas mistas''' de ''f''.
* '''Simetria''': Se as "segundas derivadas" de ''f'' são todas [[função contínua|contínuas]] em uma região dada <math>\Omega,</math> consequentemente a '''hessiana''' de ''f'' é uma [[matriz simétrica]] em cada [[Ponto (matemática)|ponto]] de <math>\Omega,</math> dado que, pelo [[teorema de Young]]<ref name="Chiang-84">CHIANG (1984), p. 332.</ref> e pelo teorema de ''Schwartz'', nestes casos a ordem de diferenciação não importa (veja, a este respeito, [[simetria da segunda derivada]] e [[Teorema de Schwartz]]):
<math display="block">\frac {\partial}{\partial {x_1}} \left( \frac { \partial f }{ \partial {x_2}} \right)=</math> <math>\frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}\,\partial {x_2}}</math> <math>=\frac {\partial}{\partial {x_2}} \left( \frac { \partial f }{ \partial {x_1}} \right)=</math> <math>\frac{\partial^2 f}{\partial {x_2}\,\partial {x_1}}</math>
Para variáveis genéricas x<sub>i</sub> e x<sub>j</sub>, esta igualdade pode ser rescrita como:
<math display="block">\partial_{x_ix_j} f = \partial_{x_jx_i} f</math>

== Pontos Críticos e Discriminante ==
Se o [[gradiente]] da [[função (matemática)|função]] ''f'' é zero em um ponto '''x''' que pertence ao domínio da função, então ''f'' em '''x''' possui um [[Ponto crítico (funções)|ponto crítico]]. O [[determinante]] do '''hessiano''' em '''x''' é chamado de discriminante em '''x'''. Se este determinante for zero, '''x''' será chamado de ''ponto crítico degenerado'' de ''f''. Do contrário, o ponto não será degenerado.

== Concavidade de funções ==
A [[Matriz (matemática)|matriz]] hessiana é útil para identificar a [[matriz convexa|concavidade]] de [[função (matemática)|funções]] duas vezes diferenciáveis. Seja <math>f \left ( x_1, x_2, ..., x_n \right )</math> uma função de n variáveis com derivadas parciais de primeira e segunda ordem contínuas em um [[conjunto convexo]] aberto S.

* A função é côncava (e portanto semicôncava também) [[se e somente se]] a matriz hessiana for semidefinida negativa
* Se a matriz hessiana é definida negativa, então a função é estritamente côncava. Isso não significa, no entanto, que se a função for estritamente côncava, então H(f) é negativa definida para todo x pertencente a S<ref name="utoronto">Concave and convex functions of many variables. Disponível em: <http://www.economics.utoronto.ca/osborne/MathTutorial/CVN.HTM#p:CcvConds>. Acesso em 10 de abril de 2011.</ref>.
* Se a matriz hessiana for definida positiva, então a função é estritamente convexa
* A função é convexa se a matriz hessiana é semidefinida positiva

{| class="wikitable"
|-
! rowspan=3 | Propriedade da função || colspan=4 | Propriedade da matriz hessiana
|-
! colspan=2 | Semidefinida || colspan=2 | Definida
|-
! [[Matriz semidefinida positiva|Positiva]] || [[Matriz semidefinida negativa|Negativa]] || [[Matriz positiva definida|Positiva]] || [[Matriz negativa definida|Negativa]]
|-
| Função côncava (e portanto também quasicôncava) ||  || X ||  ||
|-
| Função convexa  || X ||  ||  ||
|-
| Função estritamente côncava ||  ||  ||  || X
|-
| Função estritamente convexa ||  ||  || X ||
|}

== Exemplo simples: como encontrar a matriz hessiana ==
Considere a [[função (matemática)|função]] <math>f \left ( x, y \right ) =2x-y+2xy- x^2 - y^2 </math> definida no conjunto de todos os pares de números. Sua matriz hessiana é:
<math display="block">H \left [ f(x, y) \right]  = \begin{bmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \\
\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}</math>

que é uma matriz negativa semidefinida, portanto f é côncava. Note que neste caso o Hessiano não depende de x e y, mas em geral depende<ref name="utoronto"/>

== Uso da matriz hessiana para caracterizar pontos críticos ==
{{Artigo principal|Ponto crítico (funções)}}
{{Artigo principal|Determinante}}
Dada a [[função (matemática)|função]] <math>f(\mathbf{x})=f({x_1}^*, {x_2}^*,{x_3}^*, \ldots, x_n^*),</math> a condição necessária para que um determinado ponto <math>({x_1}^*, {x_2}^*,{x_3}^* \ldots, x_n^*)</math> seja um [[Ponto crítico (funções)|ponto crítico]] é que todas as derivadas parciais, calculadas naquele [[Ponto (matemática)|ponto]] específico, sejam iguais a [[zero]].<ref name="Chiang-84"/> No entanto, para definir se este [[Ponto crítico (funções)|ponto crítico]] é um ponto de máximo, mínimo ou de sela, é preciso calcular o [[determinante]] da matriz hessiana e seus [[menor principal|menores principais]]. Para isso, pode-se seguir os seguintes passos:
<ol>
<li>Calcular as "n" derivadas de primeira ordem da [[função (matemática)|função]] f. O resultado serão "n" funções das variáveis do [[Vetor (matemática)|vetor]] n &times; 1 <math>\mathbf{x}.</math> </li>
<li>Igualar cada uma das "n" funções do item 1 a [[zero]]. Com isso, serão descobertos valores para cada uma das variáveis <math>x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n.</math> Chamaremos estes valores, cujas coordenadas compõem o [[Ponto crítico (funções)|ponto crítico]], de <math>({x_1}^*, {x_2}^*,{x_3}^*, \ldots, x_n^*).</math> Igualmente, o [[Vetor (matemática)|vetor]] nX1 destes valores ([[número]]s) será chamado de <math>\mathbf{x^*}=\begin{bmatrix}{x_1}^* \\ {x_2}^* \\ {x_3}^* \\ \vdots \\ x_n^* \end{bmatrix}.</math> Reservar este [[Ponto crítico (funções)|ponto crítico]].</li>
<li>A partir das [[derivada]]s de primeira ordem calculadas no item 1, calcular as derivadas de segunda ordem da [[função (matemática)|função]] f e montar a [[Matriz (matemática)|matriz]] hessiana nXn. Notar que é possível que muitos elementos desta matriz sejam função das variáveis <math>({x_1}, {x_2}, \ldots, x_n).</math> </li>
<li>Substitua as variáveis <math>({x_1}, {x_2},{x_3}, \ldots, x_n),</math> presentes na [[Matriz (matemática)|matriz]] hessiana montada no item 3, pelos valores correspondentes do [[Ponto crítico (funções)|ponto crítico]], ou seja, pelos valores do [[Vetor (matemática)|vetor]] <math>\mathbf{x^*}.</math> A [[Matriz (matemática)|matriz]] resultante não terá mais variáveis, somente [[número]]s. Por exemplo, a [[derivada]] da [[função (matemática)|função]] f em relação à [[Variável (matemática)|variável]] <math>{x_2},</math> por sua vez derivada em relação à variável <math>{x_1},</math> calculada para o [[Vetor (matemática)|vetor]] <math>(\mathbf{x^*}),</math> será representado por <math>\frac{\partial^2 f}{\partial {x_2}\,\partial {x_1}}(\mathbf{x^*})</math> e significa um [[número]].</li>
<li>A partir da [[Matriz (matemática)|matriz]] resultante do item 4, calcular os [[menor principal|menores principais]]. Os resultados serão números.
* <math>\left | H_1 \right \vert=\left | \frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}^2}(\mathbf{x^*}) \right \vert,</math>
* <math>\left | H_2 \right \vert=\begin{vmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}^2}(\mathbf{x^*}) & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}\,\partial {x_2}}(\mathbf{x^*}) \\  \\
\frac{\partial^2 f}{\partial {x_2}\,\partial {x_1}}(\mathbf{x^*}) & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_2}^2}(\mathbf{x^*}) \\
\end{vmatrix}</math>
* <math>\left | H_3 \right \vert=\begin{vmatrix}

\frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}^2}(\mathbf{x^*}) & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}\,\partial {x_2}}(\mathbf{x^*}) & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}\,\partial {x_3}}(\mathbf{x^*})\\  \\

\frac{\partial^2 f}{\partial {x_2}\,\partial {x_1}}(\mathbf{x^*}) & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_2}^2}(\mathbf{x^*}) & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_2}\,\partial {x_3}}(\mathbf{x^*}) \\  \\

\frac{\partial^2 f}{\partial {x_3}\,\partial {x_1}}(\mathbf{x^*}) & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_3}\,\partial {x_2}}(\mathbf{x^*}) & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_3}^2}(\mathbf{x^*}) \\
\end{vmatrix}</math>
* ...
* <math>\left | H_n \right \vert = \begin{vmatrix}

\frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}^2}(\mathbf{x^*}) & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}\,\partial {x_2}}(\mathbf{x^*}) & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}\,\partial x_n}(\mathbf{x^*}) \\  \\

\frac{\partial^2 f}{\partial {x_2}\,\partial {x_1}}(\mathbf{x^*}) & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_2}^2}(\mathbf{x^*}) & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_2}\,\partial x_n}(\mathbf{x^*}) \\  \\

\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \\

\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial {x_1}}(\mathbf{x^*}) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial {x_2}}(\mathbf{x^*}) & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}(\mathbf{x^*})
\end{vmatrix} = \left | H_n \right \vert</math>=determinante da [[Matriz (matemática)|matriz]] hessiana calculada no item 4.</li>
<li>Verificar o sinal dos [[menor principal|menores principais]] do item 5<ref>CHIANG (1984), p. 333.</ref>:
{| class="wikitable"
|-
! Condição !! A matriz ''H'' !! O [[Ponto crítico (funções)|ponto crítico]] <math>({x_1}^*, {x_2}^*,{x_3}^*, \ldots, x_n^*)</math>
|-
| <math>\left | H_1 \right \vert>0,\left | H_2 \right \vert>0,\left | H_3 \right \vert>0, \ldots </math> || É [[matriz positiva definida|positiva definida]] || É ponto de mínimo.
|-
| <math>\left | H_1 \right \vert<0,\left | H_2 \right \vert>0,\left | H_3 \right \vert<0, \ldots </math> || É [[matriz positiva definida|negativa definida]] || É ponto de máximo.
|}</li></ol>

== Ver também ==
*[[Matriz jacobiana]]

{{Referências|Notas e referências}}

== Referências ==
*SIMON, Carl P., e BLUME, Lawrence. Mátemática para economistas. Porto Alegre: Bookman, 2004. Reimpressão 2008. ISBN 978-85-363-0307-9.
*INTRILIGATOR, Michael D. ''Mathematical Optimization and Economic Theory''. 1971, Prentice-Hall. Inc. Englewood Cliffs, N.J. printed in the United states of America 13-561753-7. Library of Congress Catalog Card Number: 72-127059. Appendix B, "Matrices".
*CHIANG, Alpha C. ''Fundamental Methods in Mathematical Economics''. 3ª edição. McGraw-Hill, Inc. 1984. ISBN 0-07-010813-7. Seção 11.4, "Objective functions with more than two variables".

{{Classes de matriz}}

[[Categoria:Cálculo]]
[[Categoria:Álgebra linear]]
[[Categoria:Operadores diferenciais]]