Ação Nambu-Goto

Série de artigos sobre
Teoria das cordas
História
Objetos fundamentais Corda Corda cósmica P-brana D-brana
Teoria de perturbações Cordas bosônicas Supercordas: Tipo I Tipo II Cordas heteróticas
Não perturbativos S-dualidade T-dualidade U-dualidade Teoria-M Teoria-F Correspondência AdS/CFT
Fenomenologia Fenomenologia Cosmologia Paisagem
Equações e teorias Teoria de tudo Monstrous moonshine Álgebra de Kac-Moody P-brana negra E8
Conceitos Teoria de tudo Teoria do campo conformal Gravitação quântica Supersimetria Supergravitação Teoria Twistor (Cordas Twistor) Teoria supersimétrica N = 4 de Yang-Mills Teoria de Kaluza–Klein Multiverso Princípio holográfico Variedade de Calabi-Yau
Teóricos Aganagić Arkani-Hamed Atiyah Banks Berenstein Bousso Cleaver Curtright Dijkgraaf Distler Douglas Duff Ferrara Fischler Friedan Gates Gliozzi Gopakumar Green Greene Gross Gubser Gukov Guth Hanson Harvey Hořava Horowitz Gibbons Kachru Kaku Kallosh Kaluza Kapustin Klebanov Knizhnik Kontsevich Klein Linde Maldacena Mandelstam Marolf Martinec Minwalla Moore Motl Mukhi Myers Nanopoulos Năstase Nekrasov Neveu Nielsen van Nieuwenhuizen Novikov Olive Ooguri Ovrut Polchinski Polyakov Rajaraman Ramond Randall Randjbar-Daemi Roček Rohm Sagnotti Scherk Schwarz Seiberg Sen Shenker Siegel Silverstein Sơn Staudacher Steinhardt Strominger Sundrum Susskind 't Hooft Townsend Trivedi Turok Vafa Veneziano Verlinde Verlinde Wess Witten Yau Yoneya Zamolodchikov Zamolodchikov Zaslow Zumino Zwiebach

A ação Nambu-Goto é uma quantidade matemática que pode ser usada para predizer como as cordas se movem através do espaço e do tempo.

Ela é a ação mais simples que descreve uma corda relativistica Pela aplicação das ideias da mecânica quântica às ações Nambu-Goto (um procedimento conhecido como quantização) pode-se deduzir que cada corda pode vibrar em muitos diferentes modos, e que cada estado vibracional representa uma partícula diferente. Esta ação é a mais simples invariante ação na teoria das cordas bosônica. Ela, para uma corda clássica, a qual possui claramente uma interpretação geométrica, a partir desta ação, que se deduz uma ação mais geral, a ação de Polyakov, e pode ser demonstrado que estas duas são classicamente equivalentes. A ação Nambu-Goto também é usada em outras teorias que investigam objetos-cordas (por exemplo, cordas cósmicas). É o ponto de partida da análise de comportamento zero-espessura (infinitamente fina) das cordas, usando os princípios da mecânica de Lagrange. Assim como a ação para uma partícula de ponto livre é proporcional ao seu tempo apropriado, ou seja, o "tamanho" de seu mundo-linha, uma relativista ação da corda é proporcional à área da folha que a corda traça, enquanto que viaja através do espaço-tempo. A ação deve o seu nome aos físicos japoneses Yoichiro Nambu e Goto Tetsuo.

Definição

A ação Nambu-Goto é uma ação funcional para modelos sigma com o espaço alvo uma pseudo variedade de Riemann$(X,g)(X,g)$: Isto é o volume induzido funcional

$S_{NG}:(\Sigma {\stackrel {\gamma }{\to }}X)\mapsto \int _{\Sigma }dvol(\gamma ^{*}g)\,,$

onde $dvol(\gamma ^{*}g)$ é a forma de volume da retração $(\gamma ^{*}g)$ do tensor métrico a partir de $X$ para $\Sigma$ .

Folha de universo

Assim como um zero-dimensional traça um mundo-linha em um diagrama espaço-tempo, uma corda unidimensional é representada por uma folha de universo.

Yoichiro Nambu (2008)

Todas as folha de universo são superfícies bidimensionais, e requerem dois parâmetros para especificar um ponto na folha. Os teóricos das cordas usam os símbolos τ e σ para estes parâmetros. Como se vê, as teorias de cordas envolvem superiores espaços dimensionais que o do mundo 3D com o qual estamos familiarizados; teoria das cordas bosônicas requer 25 dimensões espaciais e um eixo de tempo. Se d é o número de dimensões espaciais, podemos representar um ponto pela vector

$x=(x^{0},x^{1},x^{2},\ldots ,x^{d}).$

Descrevemos uma corda usando funções que mapeiam uma posição no espaço paramétrico (τ, σ) para um ponto no espaço-tempo. Para cada valor de τ e σ, estas funções especificam um único vetor espaço-tempo:

$X(\tau ,\sigma )=(X^{0}(\tau ,\sigma ),X^{1}(\tau ,\sigma ),X^{2}(\tau ,\sigma ),\ldots ,X^{d}(\tau ,\sigma )).$

As funções $X^{\mu }(\tau ,\sigma )$ determinam a forma que a folha de universo toma. Diferentes Lorentz observadores vão discordar sobre as coordenadas que atribuem a pontos particulares n a folha de universo, mas todos eles devem concordar com a área total que a folha de universo possui. A ação Nambu-Goto é escolhida para ser proporcional a esta área total.

Deixe $g_{\ mu\ nu}$ ser a métrica (d +1)-espaço-tempo dimensional. Então,

$g_{ab}=g_{\mu \nu }{\frac {\partial X^{\mu }}{\partial \sigma ^{a}}}{\frac {\partial X^{\nu }}{\partial \sigma ^{b}}}\$

é a métrica induzida na a folha de universo da corda.

A área ${\mathcal {A}}$ d a folha de universo é dada por:

$\mathrm {d} {\mathcal {A}}=\mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {-g}}$

onde $\mathrm {d} ^{2}\Sigma =\mathrm {d} \sigma \,\mathrm {d} \tau$ e $g=\mathrm {det} \left(g_{ab}\right)\$

Usando a notação que:

${\dot {X}}={\frac {\partial X}{\partial \tau }}$

e

$X'={\frac {\partial X}{\partial \sigma }},$

pode-se reescrever a métrica $g_{ab}$:

$g_{ab}=\left({\begin{array}{cc}{\dot {X}}^{2}&{\dot {X}}\cdot X'\\X'\cdot {\dot {X}}&X'^{2}\end{array}}\right)\$

$g={\dot {X}}^{2}X'^{2}-({\dot {X}}\cdot X')^{2}$

a ação Nambu-Goto é definida como,

${\mathcal {S}}\$

$=-{\frac {T_{0}}{c}}\int d{\mathcal {A}}$

$=-{\frac {T_{0}}{c}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {-g}}$

$=-{\frac {T_{0}}{c}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}.\$

Os fatores antes da integral dá a ação as unidades corretas, energia multiplicada pelo tempo. T₀ é a tensão na corda, e c é a velocidade da luz. Normalmente, os teóricos das cordas trabalho em "unidades naturais", onde c é definida como 1 (juntamente com $\hbar$ constante de Planck e constante G de Newton). Também, em parte por razões históricas, eles usam o "parâmetro de declive" $\alpha '$ em vez de T₀. Com estas mudanças, a ação Nambu-Goto torna-se

${\mathcal {S}}=-{\frac {1}{2\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}.$

Estas duas formas são, naturalmente, inteiramente equivalentes: escolher uma sobre a outra é uma questão de convenção e conveniência.

Duas outras formas equivalentes são

${\mathcal {S}}=-{\frac {1}{2\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {{\dot {X}}^{2}-{X'}^{2}}},$

e

${\mathcal {S}}=-{\frac {1}{4\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma ({\dot {X}}^{2}-{X'}^{2}).$

Normalmente, a ação Nambu-Goto não descreve a correta física quântica da corda. Para isso, deve ser modificada de uma forma semelhante como a ação de uma partícula ponto. Ela é classicamente igual a menos massa vezes o comprimento invariante no espaço-tempo, mas deve ser substituído por uma expressão quadrática com o mesmo valor clássica. Só então que a física quântica correta é obtida. Para cordas, a correção analógico é fornecida pela ação Polyakov, que é classicamente equivalente à ação Nambu-Goto, mas dá a teoria quântica correta. É, no entanto, possível desenvolver uma teoria quântica da ação Nambu-Goto no Medidor de cone-de-luz.