Saltar para o conteúdo

Lei dos senos

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.


Trigonometria

História
Funções
Funções inversas
Aprofundamento

Referência

Lista de identidades
CORDIC

Teoria euclidiana

Lei dos senos
Lei dos cossenos
Lei das tangentes
Teorema de Pitágoras

Cálculo

Integração trigonométrica
Substituição trigonométrica
Integrais de funções
Diferenciação trigonométrica


Em trigonometria, a lei dos senos é uma relação matemática de proporção sobre a medida de triângulos arbitrários em um plano. Em um triângulo qualquer, inscrito em uma circunferência de raio , de lados , e , que medem respectivamente , e , com ângulos internos , e vale a seguinte relação:

Demonstração

[editar | editar código-fonte]
Teste
Teste

Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triângulo ABC qualquer inscrito em uma circunferência de raio r. A partir do ponto B pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto D, e, ligando D a C, formamos um novo triângulo BCD retângulo em C.

Da figura, pelo teorema do ângulo inscrito podemos chegar à conclusão que , porque determinam na circunferência uma mesma corda . Desta forma, podemos relacionar:

Fazendo todo este mesmo processo para os ângulos e teremos as relações:

e


em que b é a medida do lado AC, oposto a , c é a medida do lado AB, oposto a , e 2r é uma constante.

Logo, podemos concluir que:


Outro modo de demonstrar é usando geometria analítica com vetores: Definimos um triângulo formado pela soma e o resultante e os ângulos , e correspondendo respectivamente aos vetores e , e , e . Sabendo que o dobro da área, representada por , do triângulo formado entre os vetores e é calculada com o módulo do produto vetorial entre eles e que:



Sendo o ângulo entre os vetores e , dessa forma temos o seguinte desenvolvimento:


Que pode ser representado como a lei dos senos que conhecemos:


Pois é uma relação possível de se inverter.

Trigonometria esférica

[editar | editar código-fonte]
Ver artigo principal: Trigonometria esférica
Lei dos senos para um triângulo esférico

Em um triângulo esférico existe uma lei muito parecida:

A lei dos senos na trigonometria plana é o caso limite desta lei; o triângulo plano é o limite de um triângulo esférico quando os lados tendem a zero, e, no limite, .


Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
Wikilivros Livros e manuais no Wikilivros