Média móvel

Exemplo de médias móveis plotadas em sob preços de ativos

Em Estatística, uma média móvel (MM) é um estimador calculado a partir de amostras sequenciais da população. E, em processamento de sinais, a MM é um tipo de filtro FIR de passa-baixas.

Os seus tipos mais comuns são a média móvel simples (ou média móvel aritmética - MMA), média móvel cumulativa e média móvel ponderada (MMP). Outras variações da MM desenvolvidas ao longo dos anos, incluem:

• média móvel exponencial (MME, Exponential Moving Average)
• media móvel adaptativa de Kaufman (Kaufman's Adaptive Moving Average)
• Triangular
• suavizada (ou amortecida)
• Exponencial Dupla ou Tripla.

Dada uma sequência de valores, o primeiro elemento em uma média móvel é a média da primeira subsequência finita destes valores. Médias móveis são comumente usadas com séries temporais para suavizar flutuações curtas e destacar tendências de longo prazo. O limiar entre curto e longo prazo depende da aplicação, bem como dos parâmetros da média móvel, como por exemplo, o tamanho da subsequência. Médias móveis são frequentemente usadas com análise técnica em mercados de capitais tal qual na análise da tendência dos preços de ativos financeiros em bolsas de valores.

Média móvel simples

A aplicação da média móvel simples, MMS ou SMA (Simple Moving Average), sobre uma sequência $(p_{i})_{i=1}^{m}$ resulta na sequência das médias das subsequências de n elementos da sequência, tal que $n<m$, e $n,m\in \mathbb {N}$. Desta maneira, dado uma sequência de m elementos $P=(p_{1},\dots ,p_{m})$, o cálculo de um termo qualquer da sequência resultante pela média móvel é dado por

${\begin{aligned}{\overline {\rm {p}}}_{i}&={\frac {p_{i+1}+\cdots +p_{i+n}}{n}}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}p_{i+j}\\{\text{e }}{\overline {\rm {p}}}_{i+1}&={\overline {\rm {p}}}_{i}+{p_{n+i+1} \over n}-{p_{i+1} \over n}.\end{aligned}}$

É preciso expandir os extremos de uma sequência de dados por n-1 elementos para aplicar a média móvel a todos os seus elementos; a maneira mais simples de fazer essa expansão é adicionar n-1 zeros aos seus extremos.

A média móvel simples possui 3 formas de ser aplicada: considerando-se os n elementos posteriores, futuros como foi feito acima; os n elementos anteriores, passados (como em séries temporais); ou considerando-se ainda elementos anteriores e posteriores. Neste último caso, apenas n/2 elementos devem ser adicionados aos dois extremos.

Média móvel ponderada

A aplicação da média móvel ponderada, MMP ou WMA (weighted moving average), sobre uma sequência $(p_{i})_{i=1}^{m}$ resulta na sequência das médias ponderadas por pesos diferentes, $w_{j}$, das subsequências de n elementos da sequência, tal que $n<m$, e $n,m\in \mathbb {N}$. Desta maneira, dado uma sequência de m elementos $P=(p_{1},\dots ,p_{m})$, o cálculo de um termo qualquer da sequência resultante pela média móvel ponderada é dado por

${\begin{aligned}{\overline {\rm {p}}}_{i}&={\frac {p_{i+1}w_{1}+\cdots +p_{i+n}w_{n}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}}}\\&={\frac {\sum _{j=1}^{n}p_{i+j}w_{j}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}}}\\\end{aligned}}$

As mesmas regras de expansão se repetem para a média móvel ponderada. Os pesos usados para uma média móvel ponderada podem ser quaisquer, contudo a forma mais comum consiste em adotar uma combinação linear simples como $w_{j}=j$. A diferença da média ponderada para a média móvel comum é que a ponderada adota pesos quaisquer para seus dados, enquanto que na média móvel comum todos os dados possuem o mesmo peso.

Média móvel exponencial

A aplicação da média móvel exponencial, MME ou EMA (Exponential Moving Average), sobre uma sequência $(p_{i})_{i=1}^{m}$ resulta na sequência das médias ponderadas por potências de $\alpha$ das subsequências de n elementos da sequência, tal que $n<m$, e $n,m\in \mathbb {N}$. Desta maneira, dado uma sequência de m elementos $P=(p_{1},\dots ,p_{m})$, o cálculo de um termo qualquer da sequência resultante pela média móvel exponencial é dado por

${\begin{aligned}{\overline {\rm {p}}}_{i}&=\alpha p_{i+1}+\alpha (1-\alpha )p_{i+2}+\cdots +\alpha (1-\alpha )^{i+n-1}p_{i+n-1}+(1-\alpha )^{i+n}p_{i+n}\\&={\alpha \sum _{j=1}^{n-1}{p_{i+j}(1-\alpha )^{j-1}}}+(1-\alpha )^{i+n}p_{i+n}\\{\text{tal que }}\alpha &={\frac {2}{s+1}}~,~s\in \mathbb {N} ^{*}.\end{aligned}}$

As mesmas regras de expansão se repetem para a média móvel exponencial. A diferença da média exponencial para a média móvel comum é que a exponencial coloca um peso maior nos dados mais recentes, enquanto os dados mais antigos ficam com pesos cada vez menores; na média móvel comum todos os dados possuem o mesmo peso. A média móvel exponencial é uma versão especialista da média móvel ponderada, note que na exponencial todos os seus pesos são potências, o que implica em uma relação não-linear entre os dados, estão no intervalo entre 0 e 1, $\forall j(w_{j}\in [0,1])$ e que o somatório dos seus pesos é necessariamente igual a um, $\sum _{j=1}^{n}w_{j}=1$.

Média móvel adaptativa de Kaufman

A média móvel adaptativa de Kaufman, MMAK ou KAMA (Kaufman's adaptive moving average), é uma variação da média móvel exponencial, porém menos sujeita a ruídos nos dados; sequências de dados que variam rapidamente recebem pesos menores nos valores mais recentes (desconsiderando-se a tendência atual), e sequências de dados que variam lentamente recebem pesos maiores nesses valores (seguindo-se a tendência atual). A fórmula de MMAK é idêntica a MME, porém o cálculo de $\alpha$ é feito de forma diferente;

${\begin{aligned}\alpha &=\left({\frac {|p_{i+1}-p_{i+n}|}{\sum _{j=1}^{n-1}|p_{i+j}-p_{i+j+1}|}}\left({\frac {2}{e+1}}-{\frac {2}{a+1}}\right)+{\frac {2}{a+1}}\right)^{2};~a>e~{\text{e}}~a,e\in \mathbb {N} ^{*}.\end{aligned}}$

Os valores recomendados por Kaufman para a e e são respectivamente 30 e 2, que correspondem ao maior e ao menor subconjunto que desejamos considerar para influenciar o resultado das médias.

Uso da EMA para Estimativas de Risco

EMA ou EWMA (exponentially weighted moving average) é usada como índice financeiro de medição de risco para parâmetros como:

• Volatilidade: neste caso, a série de retornos diários com n observações é ponderada por um fator de decaimento. As observações mais recentes no tempo são ponderadas com um peso maior que as observações mais remotas. O peso de uma observação decai exponencialmente com n.

• Correlação: São mais suscetíveis a ruído (mais instáveis) que as estimativas de volatilidade. Se a coleta de dados for feita de forma assíncrona pode destruir os padrões de correlação. Mudanças de regime ou paradigmas econômicos impactam a produção de padrões de correlação, assim, dados históricos não podem ser utilizados.

Para obter uma matriz de correlação válida a partir de uma estimativa ruidosa amostral é necessário, em geral, uma estimação paramétrica - Método de Rebonato e Peter Jaeckel .