Operador linear ilimitado

Em matemática e, em especial, em análise funcional, a noção de operador linear ilimitado fornece uma estrutura abstrata para lidar com diversas aplicações, principalmente em coneção em cone com operadores diferenciais e mecânica quântica.

A teoria dos operadores ilimitados foi desenvolvida no final dos anos de 1920 e início de 1930, por J. von Neuman and M. H. Stone, como uma tentativa de colocar a mecânica quântica em uma base matemática rigorosa .

Definição e propriedades básicas

Sejam $X,Y$ espaços de Banach. Um operador linear ilimitado é uma aplicação linear $A:D(A)\subset X\longrightarrow Y$, onde $D(A)$ é um subespaço de $X$, chamado domínio de $A$. Dizemos que o operador $A$ é densamente definido quando $D(A)$ é denso em $X$, isto é, quando ${\overline {D(A)}}=X$.

A imagem de $A$ é um subespaço de $Y$ denotado por $R(A)$. O gráfico de $A$, denotado por $G(A)$, é definido por

$G(A)=\{(x,Ax)\in X\times Y;\ x\in D(A)\}.$

Um operador $A$ é dito ser fechado se o seu gráfico é fechado em $X\times Y$. O núcleo de $A$ é um subespaço de $X$, definido por

${\mathcal {N}}(A)=\{x\in D(A);\ Ax=0\}.$

Bibliografia

• Brezis, Haim (2011). Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations (em inglês). New York, NY: Springer New York 

• Kesavan, Srinivasan (2015). Topics in Functional Analysis and Applications second ed. [S.l.]: New Age International Publishers. ISBN 978-81-224-3797-3 

• Kreyszig, Erwin (1989). Introductory functional analysis with applications. Col: Wiley classics library Wiley classics library ed ed. New York: Wiley  !CS1 manut: Texto extra (link)