Teoria de Lie

Em termos gerais, a Teoria de Lie é uma ferramenta para estudar equações diferenciais, funções especiais e perturbação especial^[1] e é um mapa da álgebra de Lie de um grupo de Lie para o grupo que permite recuperar a estrutura do grupo local a partir da álgebra de Lie,^[2] utilizada em muitas áreas da matemática pura^[3] e aplicada e física matemática.^[4]

Na matemática, o investigador Sophus Lie iniciou linhas de estudos envolvendo integração de equações diferenciais, grupos de transformação e contato de esferas que passaram a ser chamadas de Teoria de Lie.^[5] Por exemplo, o último assunto é geometria da esfera de Lie. Este artigo aborda os grupos de transformação, que é uma das áreas da matemática, e foi desenvolvido por Wilhelm Killing e Élie Cartan.

O fundamento da Teoria de Lie é o mapa exponencial que relaciona as álgebras de Lie com os grupos de Lie, que é chamado de correspondência de grupo de Lie-álgebra. O assunto é parte da geometria diferencial, uma vez que os grupos de Lie são coletores diferenciáveis. Os grupos de Lie evoluem para fora da identidade (1) e os vetores tangentes para subgrupos de um parâmetro geram a álgebra de Lie. A estrutura de um grupo de Lie está implícita em sua álgebra e a estrutura da Álgebra de Lie é expressa por sistemas de raiz e dados raiz.

A teoria de Lie tem sido particularmente útil na física matemática, uma vez que descreve importantes grupos físicos como o grupo galileu, o grupo Lorentz e o grupo Poincaré.

Teoria elementar de Lie

Os grupos de um parâmetro são a primeira instância da teoria de Lie. O caso compacto surge através da fórmula de Euler no plano complexo. Outros grupos de um parâmetro ocorrem no plano do número complexo-dividido como a hipérbole da unidade

\lbrace \exp(jt)=\cosh(t)+j\sinh(t):t\in R\rbrace ,

E no plano do número duplo como a linha $\lbrace \exp(\varepsilon t)=1+\varepsilon t:t\in R\rbrace .$ Nesses casos, os parâmetros da álgebra de Lie têm nomes: ângulo, ângulo hiperbólico, e declive. Usando o "ângulo" apropriado e um vetor radial, qualquer um desses planos pode receber uma decomposição polar. Qualquer uma dessas decomposições, ou renderizações da álgebra de Lie, pode ser necessária para renderizar a subalgebra de Lie de uma matriz real de 2 × 2.

Existe um grupo clássico de três parâmetros e um grupo de álgebra clássico: os quaternões de comprimento da unidade que podem ser identificados com a 3-esfera. A álgebra de Lie é o subespaço dos vetores de quaternion. Uma vez que o comutador ij − ji = 2k, o suporte de Lie nesta álgebra é o dobro do produto cruzado da análise de vetores comuns.

Outro exemplo elementar de 3 parâmetros é dado pelo grupo Heisenberg e sua álgebra de Lie. Os tratamentos padrão da teoria de Lie geralmente começam com os grupos clássicos.

História e escopo

As expressões iniciais da Teoria de Lie são encontradas em livros compostos por Sophus Lie com Friedrich Engel e Georg Scheffers de 1888 a 1896.

Nos primeiros trabalhos de Lie, a ideia era construir uma teoria de grupos contínuos, para complementar a teoria dos grupos discretos que se desenvolveram na teoria das formas modulares, nas mãos de Felix Klein e Henri Poincaré. A aplicação inicial que Lie tinha em mente era a teoria das equações diferenciais. No modelo da teoria de Galois e das equações polinomiais, a concepção motriz era de uma teoria capaz de unificar, pelo estudo da simetria, toda a área das equações diferenciais ordinárias.

De acordo com o historiador Thomas W. Hawkins,^[6] foi Élie Cartan^[7] que fez da teoria de Lie o que é:

Enquanto Lie tinha muitas ideias férteis, Cartan era o principal responsável pelas extensões e aplicações de sua teoria que o tornaram um componente básico da matemática moderna. Foi ele quem, com alguma ajuda da Weyl, desenvolveu as ideias seminal, essencialmente algébricas de Matar na teoria da estrutura e representação de álgebras semeimples de Lie que desempenha um papel tão fundamental na atual teoria da Lie. E, embora Lie considerasse as aplicações de sua teoria à geometria, foi Cartan quem realmente as criou, por exemplo através de suas teorias de espaços simétricos e generalizados, incluindo todos os aparelhos auxiliares (molduras móveis, formas diferenciais externas, etc.)^[8]

Aspectos da teoria de Lie

A teoria de Lie é frequentemente construída com base em um estudo dos grupos algébricos lineares clássicos. Os ramos especiais incluem grupos Weyl, grupos Coxeter e edifícios. O assunto clássico foi estendido para Grupos de tipo Lie.

Em 1900, David Hilbert desafiou os teóricos de Lie com o Quinto Problema apresentado no Congresso Internacional de Matemáticos em Paris.

Veja também

Referências

↑ Belinfante, Johan G. F; Kolman, Bernard (1989). A Survey of Lie Groups and Lie Algebra with Applications and Computational Methods (em inglês). 87. revisada 2 ed. [S.l.]: Society for Industrial and Applied Mathematics. p. 6–14. 164 páginas. ISBN 9780898712438
↑ Granja, Ángel; Hermida, José Ángel; Verschoren, Alain (2001). Ring Theory and Algebraic Geometry (em inglês). 221. [S.l.]: CRC Press. 362 páginas. ISBN 9780203907962
↑ «What is Pure Mathematics?». University of Waterloo
↑ M Geck, A Kleshchev e G Röhrle (2009). «Programme Theme». The Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences
↑ "Lie’s lasting achievements are the great theories he brought into existence. However, these theories – transformation groups, integration of differential equations, the geometry of contact – did not arise in a vacuum. They were preceded by particular results of a more limited scope, which pointed the way to more general theories that followed. The line-sphere correspondence is surely an example of this phenomenon: It so clearly sets the stage for Lie’s subsequent work on contact transformations and symmetry groups." R. Milson (2000) "An Overview of Lie’s line-sphere correspondence", pp 1–10 of The Geometric Study of Differential Equations, J.A. Leslie & T.P. Robart editors, American Mathematical Society ISBN 0-8218-2964-5 , quotation pp 8,9
↑ Hawkins, Thomas (2000). Emergence of the Theory of Lie Groups: an essay in the history of mathematics, 1869–1926. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-98963-3
↑ M.A. Akivis & B.A. Rosenfeld (1993) Élie Cartan (1869–1951), translated from Russian original by V.V. Goldberg, chapter 2: Lie groups and Lie algebras, American Mathematical Society ISBN 0-8218-4587-X0-8218-4587-X .
↑ Hawkins, Thomas (1996) Historia Mathematica 23(1):92–5

Leitura adicional

J. L. Coolidge (1940) A History of Geometrical Methods, pp 304–17, Oxford University Press (Dover Publications 2003).
Sattinger, David H.; Weaver, O. L. (1986). Lie groups and algebras with applications to physics, geometry, and mechanics. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 3-540-96240-9

[1] Belinfante, Johan G. F; Kolman, Bernard (1989). A Survey of Lie Groups and Lie Algebra with Applications and Computational Methods (em inglês). 87. revisada 2 ed. [S.l.]: Society for Industrial and Applied Mathematics. p. 6–14. 164 páginas. ISBN 9780898712438

[2] Granja, Ángel; Hermida, José Ángel; Verschoren, Alain (2001). Ring Theory and Algebraic Geometry (em inglês). 221. [S.l.]: CRC Press. 362 páginas. ISBN 9780203907962

[3] «What is Pure Mathematics?». University of Waterloo

[4] M Geck, A Kleshchev e G Röhrle (2009). «Programme Theme». The Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences

[5] "Lie’s lasting achievements are the great theories he brought into existence. However, these theories – transformation groups, integration of differential equations, the geometry of contact – did not arise in a vacuum. They were preceded by particular results of a more limited scope, which pointed the way to more general theories that followed. The line-sphere correspondence is surely an example of this phenomenon: It so clearly sets the stage for Lie’s subsequent work on contact transformations and symmetry groups." R. Milson (2000) "An Overview of Lie’s line-sphere correspondence", pp 1–10 of The Geometric Study of Differential Equations, J.A. Leslie & T.P. Robart editors, American Mathematical Society ISBN 0-8218-2964-5 , quotation pp 8,9

[6] Hawkins, Thomas (2000). Emergence of the Theory of Lie Groups: an essay in the history of mathematics, 1869–1926. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-98963-3

[7] M.A. Akivis & B.A. Rosenfeld (1993) Élie Cartan (1869–1951), translated from Russian original by V.V. Goldberg, chapter 2: Lie groups and Lie algebras, American Mathematical Society ISBN 0-8218-4587-X0-8218-4587-X .

[8] Hawkins, Thomas (1996) Historia Mathematica 23(1):92–5

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