Centru (teoria inelelor)

În algebra abstractă centrul unui inel R este subinel format din elementele x astfel încât xy = yx pentru toate elementele y din R. Este un inel comutativ și este notat cu Z(R). „Z” provine din germană Zentrum, care înseamnă „centru”.

Dacă R este un inel, atunci R este o algebră asociativă^⁠(d) peste centrul său. Reciproc, dacă R este o algebră asociativă peste un subinel comutativ S, atunci S este un subinel al centrului lui R, iar dacă S se întâmplă să fie centrul lui R, atunci algebra R se numește algebră centrală.

Definiție

Fie inelul $(A,+,\cdot \,).$ Se numește centrul inelului A mulțimea

$Z(A)=\{x\in A\,\vert \,x\cdot y=y\cdot x\quad \forall y\in A\,\}.$

Exemple

• Centrul unui inel comutativ R este R însuși.
• Centrul unui corp comutativ este un corp.
• Centrul unui inel de matrici^⁠(d) (complet) cu elemente dintr-un inel comutativ R este format din R-multiplii scalari ai matricei unitate.
• Fie F o extindere de corp a unui corp k, iar R o algebră peste k. Atunci Z(R ⊗_k F) = Z(R) ⊗_k F.
• Centrul unei algebre anvelopante universale^⁠(d) a unei algebre Lie^⁠(d) joacă un rol important în teoria reprezentării algebrelor Lie. De exemplu, un element Casimir^⁠(d) este un element al unui astfel de centru care este folosit pentru a analiza reprezentările algebrei Lie.
• Centrul unei algebre simple este un corp.

Bibliografie

• en Bourbaki, Algebra 
• en Pierce, Richard S. (1982), Associative algebras, Graduate Texts in Mathematics, 88, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90693-5