Дифференциальная геометрия

Дифференциа́льная геоме́трия — раздел математики, изучающий гладкие многообразия, обычно с дополнительными структурами. Они находят множество применений в физике, особенно в общей теории относительности.

Основные подразделы дифференциальной геометрии:

Часто дифференциальная геометрия рассматривается как неделимый раздел вместе с дифференциальной топологией. Различиями между этими разделами могут быть наличие или отсутствие дополнительных структур на гладком многообразии, но может быть также наличие или отсутствие локальных инвариантов: в дифференциальной топологии рассматриваются такие структуры на многообразиях, что у любой пары точек можно найти одинаковые окрестности, тогда как в дифференциальной геометрии, вообще говоря, могут присутствовать локальные инварианты (такие как кривизна), которые могут различаться в точках. Например, симплектическая структура таких инвариантов не имеет, и наряду с симплектической геометрией рассматривается «симплектическая топология».

Математическая предметная классификация выделяет для дифференциальной геометрии раздел верхнего уровня 53, а дифференциальную топологию относит в качестве блока второго уровня 57Rxx в разделе «Многообразия и клеточные комплексы».

История

Дифференциальная геометрия возникла и развивалась в тесной связи с математическим анализом, который сам в значительной степени вырос из задач геометрии. Многие геометрические понятия предшествовали соответствующим понятиям анализа. Так, например, понятие касательной предшествовало понятию производной, понятие площади и объёма — понятию интеграла.

Возникновение дифференциальной геометрии относится к XVIII веку и связано с именами Эйлера и Монжа. Первое сводное сочинение по теории поверхностей написано Монжем («Приложение анализа к геометрии», 1795). В 1827 году Гаусс опубликовал работу «Общее исследование о кривых поверхностях», в которой заложил основы теории поверхностей в её современном виде. С тех пор дифференциальная геометрия перестала быть только приложением анализа и заняла самостоятельное место в математике.

Огромную роль в развитии всей геометрии, в том числе и дифференциальной геометрии, сыграло открытие неевклидовой геометрии. Риман в своей лекции «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» (1854) заложил основы римановой геометрии, наиболее развитой части современной дифференциальной геометрии.

Теоретико-групповая точка зрения Клейна, изложенная в его «Эрлангенской программе» (1872), то есть: геометрия — учение об инвариантах групп преобразований, в применении к дифференциальной геометрии была развита Картаном, который построил теорию пространств проективной связности и аффинной связности.

Дифференциальная топология является гораздо более молодым разделом математики: он начал развиваться только в начале XX века.

Литература

Дифференциальная топология : [арх. 25 марта 2023] // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1986. — 760 с.
Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — М.: МГУ, 1980. — 439 с.
Дж. Шварц^[англ.]. Дифференциальная геометрия и топология. — М.: Мир, 1970. — 223 с.
Веблен О., Уайтхед Дж. Основания дифференциальной геометрии = The Foundations of Differential Geometry / Пер. с англ. М. Г. Фрейдиной. — М.: ИЛ, 1949. — 230 с.
Гусейн-Заде С. М. Лекции по дифференциальной геометрии. — М.: МГУ, 2001. — 54 с.
Егоров Д. Ф. Работы по дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1970. — 380 с.
Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия = Lie Groups and Differential Geometry / Пер. с англ. Ю. А. Шуб-Сизоненко. — М.: ИЛ, 1960. — 128 с.
Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия. — 6-е изд. — М.: Наука, 1974. — 176 с.
Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. — 3-е изд. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1950. — 428 с.
Розендорн Э. Р. Задачи по дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1971. — 64 с.
Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии = Lectures on Differential Geometry / Пер. с англ. Д. В. Алексеевского. — М.: Мир, 1970. — 412 с.
Троицкий Е. В. Дифференциальная геометрия и топология. — М.: МГУ, 2003. — 52 с.
Фиников С. П. Дифференциальная геометрия. Курс лекций. — М.: МГУ, 1961. — 158 с.
Фиников С. П. Проективно-дифференциальная геометрия. — М.—Л.: ОНТИ, 1937. — 264 с.
Скопенков А. Основы дифференциальной геометрии в интересных задачах. — М.: МЦНМО, 2008.