Принцип Герца, также известный как принцип наименьшей кривизны или принцип прямейшего пути — один из вариационных принципов механики, который гласит, что при отсутствии любых активных сил (потенциальной энергии) из всех кинематически возможных (т.е. допускаемых связями) траекторий действительной будет только та, у которой наименьшая кривизна[1]. Применялся Герцем для построения механики, в которой действие активных сил заменялось введением соответствующих связей. Впервые предложен в 1894 году.

Принцип Герца часто рассматривается как частный случай гауссовского принципа наименьшего принуждения, частный случай принципа Мопертюи в трактовке Якоби и обобщение закона инерции. Связь с принципом Гаусса обусловлена пропорциональностью принуждения квадрату кривизны. При идеальных связях принцип Герца и принцип Гаусса имеют одинаковое математическое выражение.

Кривой Гаусса-Герца на пути x (t) = xα (t) в римановом пространстве Rn × l2, δij + δαβ являются минимальные квадраты Лагранжа (сумма серий функций, равномерное схождение)[2].

Математическое выражение

править

В принципе Герца функция Z математически выражается следующим образом:

 

Кинетическая энергия   сохраняется при этих условиях:

 

Поскольку линейный элемент[англ.]*   в  -мерной системе координат определяется по формуле

 ,

то закон сохранения энергии может также иметь форму

 

При делении   на   появляется ещё один минимум:

 

Поскольку   — локальная кривизна траектории в  -мерной системе координат, минимизация   равноценна поиску траектории с минимальной кривизной (геодезической).

Примечания

править

Литература

править