Aritmetička progresija

U matematici, aritmetička progresija ili aritmetički niz je niz brojeva takvih da je razlika između bilo koja dva susjedna člana niza konstantna. Na primjer, niz 3, 5, 7, 9, 11, 13... je aritmetička progresija sa razlikom 2.

Ako je prvi član aritmetičke progresije $a_{1}$ , a razlika između članova iznosi d, tada je n-ti član niza dat sa:

\ a_{n}=a_{1}+(n-1)d,

a općenitija forma je:

\ a_{n}=a_{m}+(n-m)d.

Primjeri

Među aritmetičkim progresijama najpoznatiji je niz prirodnih brojeva: $1,2,3,4,5...$
Niz parnih brojeva $2,4,6,8,10...$
Niz neparnih brojeva $1,3,5,7,11...$

Aritmetička progresija jednoznačno je određena svojim početnim članom i razlikom.

Ako je početni član 7, a razlika 3, onda je riječ o aritmetičkooj progresiji $7,10,13,16...$

Niz kvadrata prirodnih brojeva $1^{2},2^{2},3^{2},4^{2},5^{2}...$ tj. niz $1,4,9,16,25...$ nije aritmetička progresija

Tu su razlike među susjednim članovima redom $3,5,7,9...$ . Razlike čine aritmetičku progresiju.

Već smo spomenuli da niz prirodnih brojeva čine dva niza:

niz parnih brojeva i
niz neparnih brojeva.

Često nulu uvrštavamo u prirodne brojeva, tako da je niz parnih brojeva $0,2,4,6,8,10...$ , što se kraće može zapisati formulom $2n,n=0,1,2,3,4,5...$ , a niz parnih brojeva oznakom ${\begin{Bmatrix}2n\end{Bmatrix}}$ , a sa ${\begin{Bmatrix}2n+1\end{Bmatrix}}$ niz neparnih brojeva.

Parni brojevi su oni koji su djeljivi brojem 2, a neparni oni koji pri dijeljenju brojem 2 imaju ostatak 1.

Slično bismo mogli gledati podjelu s obzirom na djeljivost brojem 4, gdje ostaci mogu biti 0 (djeljivost brojem 4), 1, 2 ili 3.

(0) Djeljivi brojem 4: $0,4,8,12,16,20...$ Zapis ${\begin{Bmatrix}4n\end{Bmatrix}}$

(I) Ostatak 1 pri dijeljenju brojem 4: $1,5,9,13,17,21...$ Zapis ${\begin{Bmatrix}4n+1\end{Bmatrix}}$

(II) Ostatak 2 pri dijeljenju brojem: $2,6,10,14,18,22...$ Zapis ${\begin{Bmatrix}4n+2\end{Bmatrix}}$

(III) Ostatak 3 pri dijeljenju brojem: $3,7,11,15,19,23...$ Zapis ${\begin{Bmatrix}4n+3\end{Bmatrix}}$

Nizovi (0), (I), (II) i (III) su potpuno različiti, tj. nikoja dva nemaju zajedničkih članova, a ukupno čine skup svih prirodnih brojeva (uključujući i 0). Svaki od njih odgovara jednom od ostataka pri dijeljenju brojem 4, tj. brojevima 0, 1, 2 i 3.

Ti se nizovi mogu zapisati kao: ${\begin{Bmatrix}4n\end{Bmatrix}}$ , ${\begin{Bmatrix}4n+1\end{Bmatrix}}$ , ${\begin{Bmatrix}4n+2\end{Bmatrix}}$ , ${\begin{Bmatrix}4n+3\end{Bmatrix}}$ za $n=0,1,2,3,..$

Kvadrati u aritmetičkoj progresiji

Razmotrimo nekoliko prvih članova niza ${\begin{Bmatrix}5n+1\end{Bmatrix}}$ za $n=0,1,2,3,..$ :

1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, 61, 66, 71, 76, 81, 86, 91, 96, 101, 106, 111, 116, 121, 126, 131, 136, 141, 146, 151, 156, 161, 166, 171, 176, 181, 186, 191, 196, 201...

Posebno smo istaknuli kvadrate: $1=1^{2},16=4^{2},36=6^{2},81=9^{2},121=11^{2},196=14^{2}$

Razmaci među kvadratima povećavaju, tj. kvadrati su sve rjeđi. Možemo postaviti pitanje ima li u ovom nizu konačno ili beskonačno mnogo kvadrata prirodnih brojeva.

Razmotrimo nekoliko članova niza ${\begin{Bmatrix}5n+2\end{Bmatrix}}$ 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47

Izgleda da u tom nizu nema kvadrata prirodnih brojeva.

Slično je, izgleda, s nizom ${\begin{Bmatrix}5n+3\end{Bmatrix}}$ 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48...

Niz ${\begin{Bmatrix}5n+4\end{Bmatrix}}$ sličan je nizu ${\begin{Bmatrix}5n+1\end{Bmatrix}}$ :

4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, 54, 59, 64, 69, 74, 79, 84, 89, 94, 99, 104, 109, 114, 119, 124, 129, 134, 139, 144, 149, 154, 159, 164, 169, 174, 179, 184, 189, 194, 199, 204, 209... dok je niz ${\begin{Bmatrix}5n\end{Bmatrix}}$ } vrlo jasan: 0, 5, 10, 15, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110...

Odnosno $5n$ je kvadrat cijelog broja ako i samo ako je n oblika $5k^{2}zak=0,1,2,3...$

To uočavamo iz $5n=5*5k^{2}=(5k)^{2}$ . Time smo dokazali ne samo to da niz ${\begin{Bmatrix}5n\end{Bmatrix}}$ } ima beskonačno mnogo kvadrata, već i to da su ti kvadrati oblika $(5k)^{2}$ .

Niz ${\begin{Bmatrix}5n+2\end{Bmatrix}}$ } i ${\begin{Bmatrix}5n+3\end{Bmatrix}}$ } ne sadrže niti jedan kvadrat. Za to je dovoljno uočiti sljedeće jednakosti:

$(5k)^{2}=25k^{2}=5(5k^{2})$
$(5k+1)^{2}=(5k)^{2}+2*5k*1+1^{2}=5(5k^{2}+2k)+1$
$(5k+2)^{2}=(5k)^{2}+2*5k*2+2^{2}=5(5k^{2}+4k)+4$
$(5k+3)^{2}=(5k)^{2}+2*5k*3+3^{2}=5(5k^{2}+6k)+9=5(5k^{2}+6k+1)+4$
$(5k+4)^{2}=(5k)^{2}+2*5k*4+4^{2}=5(5k^{2}+8k)+16=5(5k^{2}+8k+3)+1$

Izrečeno drugim riječima:

ako je broj djeljiv brojem 5, i njegov kvadrat je djeljiv brojem 5,
ako broj ima ostatak 1 pri dijeljenju brojem 5, njegov kvadrat ima ostatak 1 pri dijeljenju brojem 5,
ako broj ima ostatak 2 pri dijeljenju brojem 5, njegov kvadrat ima ostatak 4 pri dijeljenju brojem 5,
ako broj ima ostatak 3 pri dijeljenju brojem 5, njegov kvadrat ima ostatak 4 pri dijeljenju brojem 5,
ako broj ima ostatak 4 pri dijeljenju brojem 5, njegov kvadrat ima ostatak 1 pri dijeljenju brojem 5.

U nizu ${\begin{Bmatrix}5n+1\end{Bmatrix}}$ ima beskonačno mnogo kvadrata. Broj oblika $5n+1$ je kvadrat ako i samo ako je oblika $(5k+1)^{2}$ ili $(5k+4)^{2},k=0,1,2,3...$

Prvi oblik imaju $1,36,121,256$ itd., dok drugi imaju $16,81,196,361$ itd. i oni se dobiju ako u gornje izraze uvrstimo redom $k=0,1,2,3...$ Lako se provjeri da ovi kvadrati zaista imaju ostatak 1 pri dijeljenju brojem 5. Ako želimo neki veliki broj koji je kvadrat i ujedno pri dijeljenju brojem 5 ima ostatak 1, u neki od gornjih izraza uvrstimo velik k, primjerice k = 100. Iz prvog izraza dobijemo $501^{2}=251001$ , a iz drugoga $504^{2}=254016$ .

U nizu ${\begin{Bmatrix}5n+4\end{Bmatrix}}$ ima beskonačno mnogo kvadrata. Broj oblika $5n+4$ je kvadrat ako i samo ako je oblika $(5k+2)^{2}$ ili $(5k+3)^{2}$ $,k=0,1,2,3...$

Vrijedi i uopšteno

Ako aritmetička progresija ${\begin{Bmatrix}dn+b\end{Bmatrix}}$ } , $n=0,1,2,3...$ sadrži barem jedan kvadrat, onda on sadrži beskonačno mnogo kvadrata. Jedna progresija kvadrata u tom nizu je oblika $(dk+y)^{2}$ , gdje je $y^{2}$ jedan kvadrat što ga taj niz sadrži i $k=0,1,2,3...$

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$

Ako u nju uvrstimo $x=dk$ , dobit ćemo

$(dk+y)^{2}=d^{2}k^{2}+2dky+y^{2}$

Zato, ako je $y^{2}=dr+b$ za neki r (tj. ako progresija ${\begin{Bmatrix}dn+b\end{Bmatrix}}$ } sadrži neki kvadrat), onda je $(dk+y)^{2}=d^{2}k^{2}+2dky+dr+b=d(dk^{2}+2ky+r)+b$ što je, opet, član niza {dn + b}. To vrijedi za sve k = 0, 1, 2, 3... pa niz {dn + b} ima beskonačno mnogo kvadrata.

Kubovi u aritmetičkoj progresiji

Posmatrajmo progresiju ${\begin{Bmatrix}5n+1\end{Bmatrix}}$ i istaknimo kubove prirodnih brojeva u njemu: 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, 61, 66, 71, 76, 81, 86, 91, 96, 101, 106, 111, 116, 121, 126, 131, 136, 141, 146, 151, 156, 161, 166, 171, 176, 181, 186, 191, 196, 201...

U popisu ima samo jedan kub, broj 1, što ne znači da u tom nizu nema više kubova. Ako vrijedi tvrdnja analogna onoj za kvadrate, trebalo bi ih biti beskonačno mnogo. Pokušajmo odrediti analognu formulu, i to za svaku razliku, a ne samo za $d=5$ .

Formula za kub zbira je

$(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}$

Smjenon

$x=dk$ i $y^{3}=dr+1$

dobijemo $(dk+y)^{3}=(dk)^{3}++3(dk)^{2}y+3dky^{2}+dr+1=d(k(dk)^{2}+3k(dk)y+3ky^{2}+r)+1$ , što je, oblika ${\begin{Bmatrix}dn+1\end{Bmatrix}}$ za svako k, pa niz ${\begin{Bmatrix}dn+1\end{Bmatrix}}$ sadrži beskonačno mnogo kubova.

U našem slučaju je $d=5,r=0,x=1$ pa je formula za kubove $(5k+1)^{3}$ za $k=0,1,2,3...$ dobijamo $1^{3}=1$ , što već imamo, za $k=1$ dobivamo $(5*1+1)^{3}==216=5*45+1$ , za $k=2$ dobijamo $11^{3}=1221$ itd.

Brojevi $(5k+3)^{3}$ su kubovi u progresiji ${\begin{Bmatrix}5n+2\end{Bmatrix}}$

Uopšteno važi

Ako aritmetička progresija ${\begin{Bmatrix}dn+b\end{Bmatrix}}$ za $n=0,1,2,3...$ sadrži barem jedan kub, onda on sadrži beskonačno mnogo kubova. Jedan niz kubova u toj progresiji oblika $(dk+y)^{3}$ , gdje je $y^{3}$ jedan kub što ga ta progresija sadrži i $k=0,1,2,3...$

Potencije u aritmetičkioj progresiji

Ako aritmetička progresija ${\begin{Bmatrix}dn+b\end{Bmatrix}}$ za $n=0,1,2,3,..$ , $n=0,1,2,3...$ sadrži barem jednu s-tu potenciju, onda on sadrži beskonačno mnogo s-tih potencija. Jedna progresija s-tih potencija u toj progresiji je oblika $(dk+y)^{s}$ , gdje je $y^{s}$ jedna s-ta potencija što ga ta progresija sadrži i $k=0,1,2,3...$

Ova tvrdnja proizlazi iz formule za binomne formule.

Mi ćemo je izvesti iz formula za razliku potencija koje se mogu provjeriti direktnim računanjem.

$x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)$

$x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})$

$x^{4}-y^{4}=(x-y)(x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3})$

uopšteno

$x^{s}-y^{s}=(x-y)(x^{s-1}+x^{s-2}y+...+xy^{s-2}+y^{s-1})$

Za $y^{s}=rd+b$ za neki $r$ , tj. ako progresija ${\begin{Bmatrix}dn+b\end{Bmatrix}}$ sadrži s-tu potenciju, stavljajući to u jednakost (*) dobijemo $(dk+y)^{s}=dkA+dr+b=d(kA+r)+b$ , što je oblika $dn+b$ , pa je s-ta potencija $(dk+y)^{s}$ član progresije ${\begin{Bmatrix}dn+b\end{Bmatrix}}$ za svaki $k=0,1,2,3...$ Tako dobijemo beskonačno mnogo s-tih potencija u nizu ${\begin{Bmatrix}dn+b\end{Bmatrix}}$ . tome nizu.

Suma (aritmetičkog reda)

Suma komponenata aritmetičke progresije naziva se aritmetički red.

Posmatrajmo zbir $2+5+8+11+14$ prvih 5 članova aritmetičkog niza.

Zbir može biti brzo pronađen množenjem broja n članova koji se dodaju ( $n=5$ ) zbirom prvog i poslednjeg člana niza ( $2+14=16$ ), i deljenjem sa

${\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}$

U našem slučaju, dobijamo jednačinu:

$2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.$

Formula važi za bilo koje realne brojeve $a_{1}$ i $a_{n}$ .

Na primer:

$\left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.$

Formula (za aritmetički red)

Izrazimo artimetički red na dva različita načina:

S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\dots \dots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)

S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\dots \dots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}.

Saberimo obje jednačina, lijevu stranu prve jednačine sa lijevom stranom druge jednačine, te desnu stranu prve jednačine sa desnom stranom druge jednačine. Svi članovi koji sadrže d se poništavaju, a ostaje nam:

\ 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n}).

Sređivajući i uzimajući u obzir da je $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ , dobijamo:

S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}.

Proizvod

Proizvod komponenata aritmetičke progresije sa početnim elementom $a_{1}$ , razlikom između člaova $d$ ,te $n$ elemenata u totalu, je određen izrazom

a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}=d^{n}{\frac {\Gamma \left(a_{1}/d+n\right)}{\Gamma \left(a_{1}/d\right)}},

gdje $x^{\overline {n}}$ označava Pochhammerov simbol, a $\Gamma$ označava gama funkciju. (Zapazite da formula ne vrijedi kada je $a_{1}/d$ negativan cijeli broj ili kada je nula).