Seibergov–Wittenov invariant

Seibergove-Wittenove invarianty sú invarianty kompaktnej 4-rozmanitosti zavedené Edwardom Wittenom (pozri Witten 1994), používajúce Seiberg-Wittenovu teóriu skúmanú Seibergom a Wittenom (Seiberg a Witten 1994a, Seiberg a Witten 1994b) počas ich skúmania Seibergovej-Wittenovej kalibračnej teórie.

Seibergove-Wittenove invarianty sú podobné Donaldsonovým invariantom a možno ich použiť na dokázanie podobných (no niekedy o niečo silnejších) výsledkov ohľadom hladkých 4-rozmanitostí. Po technickej stránke sa s nimi narába oveľa ľahšie ako s Donaldsonovými invariantmi; napríklad, moduli priestory riešení Seibergových-Wittenových rovníc majú tendenciu ku kompaktnosti, takže sa možno vyhnúť vážnym problémom, ktoré súvisia s kompaktifikáciou moduli priestorov Donaldsonovej teórie.

Detailný opis Seibergových-Wittenových invariantov pozri v (Donaldson 1996), (Moore 2001), (Morgan 1996), (Nicolaescu 2000), (Scorpan 2005). O vzťahoch k sympletickej rozmanitosti a Gromovovým-Wittenovým invariantom pozri (Taubes 2000). O ranej histórii pozri (Jackson 1995).

Štruktúry spin ^c

Seiberg-Wittenove rovnice závisia na výbere komplexnej spinovej štruktúry, spinu ^c, na 4-rozmanitosti M. V 4 dimenziách je skupina spin^c

(U(1)×Spin(4))/(Z/2Z),

a je z nej homomorfizmus do SO(4). Štruktúra spin^c na M je výťah prirodzenej SO(4) štruktúry tangentového zhluku (za predpokladu Riemannianovej metriky a orientácie) k skupine spin ^c. Každá hladká kompaktná 4-rozmanitosť M má štruktúry typu spin ^c ( hoci väčšina nemá spinové štruktúry.

Seiberg-Witten rovnice

Stanovte hladkú kompaktnú 4-rozmanitosť M, vyberte štruktúru spin^c s na M a napíšte W⁺, W⁻ pre asociované spinorové zhluky a L pre determinujúci líniový zhluk. Napíšte φ pre samoduálne spinorové pole (sekcia W⁺) a A pre U(1) pripojenie na L. Seiberg-Wittenove rovnice pre for (φ,A) sú

$D^{A}\phi =0$

$F_{A}^{+}=\sigma (\phi )+i\omega$

kde D^A je Diracov operátor A, F_A je zakrivenie 2-formy A, a F_A⁺ je jej samoduálna častica a σ je umocnená mapa od W⁺ na imaginárne samoduálne 2-formy a $\omega$ je reálne samoduálna dvojforma, často reprezentovaná ako nula alebo harmonická. Riešenie (φ,A) pre Seiberg-Wittenove rovnice sa nazýva monopoly, keďže tieto rovnice sú rovnice poľa bezváhových magnetických monopolov na rozmanitosti M.

The moduli priestor riešení

Priestor riešení je v réžii kalibračnej skupiny a kvocient pri tejto akcii sa nazýva moduli priestor monopolov.

Moduli priestor je obvykle rozmanitosť. Riešenia sa nazýva redukovateľné, ak je fixované nejakým netriviálnym elementom kalibračnej skupiny, ktorý je ekvivalentný k $\phi =0$. Nevyhnutnou a dostatočnou podmienkou pre redukovateľné riešenia pre metriku na M a samoduálne 2-formy $\omega$ je, že samoduálna časť harmonického zástupcu kohomologickej triedy určujúceho líniového zhluku je ekvivalentná harmonickej časti $\omega /2\pi$. Moduli priestor je rozmanitosť s výnimkou u redukovateľných monopolov. Takže ak b₂⁺(M)≥1, potom moduli priestor je (pravdepodobne prázdna) rozmanitosť pre všeobecné metriky. Navyše, všetky komponenty majú rozmer

$(c_{1}(s)^{2}-2\chi (M)-3sign(M))/4.$

Moduli priestor je prázdny pre všetky s výnimkou konečného počtu spinu^c štruktúr s, a je vždy kompaktný.

O rozmanitosti M sa hovorí, že je jednoduchého typu, ak je moduli priestor konečný pre všetky s. Zbiehavosť jednoduchého typu udáva, že ak M je jednoducho pripojené a b₂⁺(M)≥2, potom je moduli priestor konečný. Toto platí pre sympletické rozmanitosti. Ak b₂⁺(M)=1, potom existujú príklady rozmanitostí s moduli priestormi arbitrárne vysokých dimenzií.

Seiberg-Wittenove invarianty

Seiberg-Witten invarianty sa najľahšie definujú pre rozmanitosti M jednoduchého typu. V tomto prípade je invariantom mapa spinu^c štruktúr s na Z, priberajúc sk počtu elementov moduli priestoru počítaných so znakmi.

Ak má rozmanitosť M metriku pozitívnej skalárnej zakrivenosti a b₂⁺(M)≥2, potom všetky Seiberg-Wittenove invarianty M miznú.

Ak je rozmanitosť M jednoducho pripojená a sympletická a b₂⁺(M)≥2, potom má spin^c štruktúru s, na ktorej je Seiberg-Wittenov invariant 1. Podstatné je, že nemôže byť rozdelený ako pripojená suma rozmanitostí s b₂⁺≥1.

Referencie

• Donaldson, S. K. (1996), „The Seiberg-Witten equations and 4-manifold topology.“ (anglicky), Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 33: 45–70, doi:10.1090/S0273-0979-96-00625-8, http://www.ams.org/bull/1996-33-01/S0273-0979-96-00625-8/home.html 
• Jackson, Allyn (1995), A revolution in mathematics, http://www.ams.org/ams/mathnews/revolution.html 
• Morgan, John W. (1996), The Seiberg-Witten equations and applications to the topology of smooth four-manifolds, Mathematical Notes, 44, Princeton, NJ: Princeton University Press, str. viii+128, ISBN 0-691-02597-5, http://press.princeton.edu/titles/5866.html 
• Moore, John Douglas (2001), Lectures on Seiberg-Witten invariants, Lecture Notes in Mathematics, 1629, Berlin: Springer-Verlag, str. viii+121, doi:10.1007/BFb0092948, ISBN 3-540-41221-2 
• Nash, Ch., Seiberg-Witten equations, S/s120080 
• Nicolaescu, Liviu I. (2000), Notes on Seiberg-Witten theory, Graduate Studies in Mathematics, 28, Providence, RI: American Mathematical Society, str. xviii+484, ISBN 0-8218-2145-8, http://www.nd.edu/~lnicolae/swnotes.pdf 
• Scorpan, Alexandru (2005), The wild world of 4-manifolds, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3749-8 
• Seiberg, N.; Witten, E. (1994a), „Electric-magnetic duality, monopole condensation, and confinement in N=2 supersymmetric Yang-Mills theory“, Nuclear Phys. B 426: 19–52, doi:10.1016/0550-3213(94)90124-4 
• „Erratum“, Nuclear Phys. B 430: 485–486, 1994, doi:10.1016/0550-3213(94)00449-8 
• Seiberg, N.; Witten, E. (1994b), „Monopoles, duality and chiral symmetry breaking in N=2 supersymmetric QCD“, Nuclear Phys. B 431: 484–550, doi:10.1016/0550-3213(94)90214-3 
• Taubes, Clifford Henry (2000), Wentworth, ed., Seiberg Witten and Gromov invariants for symplectic 4-manifolds, First International Press Lecture Series, 2, International Press, str. vi+401, ISBN 1-57146-061-6 
• Witten, Edward (1994), „Monopoles and four-manifolds.“, Math. Res. Lett. 1: 769–796, http://www.mrlonline.org/mrl/1994-001-006/1994-001-006-013.html