integralregning

Hvis \(f\) er en gitt funksjon, er integralet av \(f\) den funksjonen \(F\) som har funksjonen \(f\) som derivert, altså \(F'(x) = f(x)\) overalt i definisjonsområdet til \(f\). Dette kalles ofte Cauchy-integralet, etter den franske matematikeren Augustin Louis Cauchy.

Denne betingelsen bestemmer likevel ikke \(F\) helt entydig. Dersom den deriverte av en funksjon \(F\) er lik \(f\), vil også den deriverte av \(F\) pluss en vilkårlig konstant være lik \(f\), siden derivasjon av en konstant er null. Derfor kalles \(F\) det ubestemte integralet av \(f\), og man skriver dette slik:

\[\int f(x) \, \mathrm{d}x = F(x) + C.\]

\(C\) kalles integrasjonskonstanten. Eksempel:

\[\int x^2 \, \mathrm{d}x = \frac{x^3}{3} + C.\]

Dersom man skal integrere fra en verdi \(a\) til en verdi \(b\), skriver man dette som \[\int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x.\] Vi kaller dette det bestemte integralet av \(f\). Vi får \[\int_a^b x^2 \, \mathrm{d}x = \frac{b^3}{3}-\frac{a^3}{3}.\] Om \(a=0\) og \(b=1\), får vi \(\int_0^1 x^2 \, \mathrm{d}x =1/3\).

Det finnes regler for å integrere ulike funksjoner, og en del integrasjonsregler er gitt i tabellen. Her er \(a\) og \(b\) vilkårlige konstanter og \(n\) et vilkårlig heltall. Integrasjonskonstanten \(C\) er utelatt.

Et integral kan også ses på som grenseverdien for en sum. Integraltegnet \(\int\) er dannet av en lang S, som står for det latinske ordet summa, sum. Denne tolkningen gir tilknytning til beregning av areal, volum, masse og så videre.

La \(f\) være en kontinuerlig funksjon som antar bare positive verdier mellom \(a\) og \(b\). La \(x_0, x_1, \ldots, x_n\) være slik at \(a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_{n-1} < x_n = b\). Anta at \(M_1\) betegner den største verdi av \(f\) i intervallet \([x_0, x_1]\) og \(m_1\) den minste verdi i samme intervall, og tilsvarende \(M_2\) og \(m_2\) den største og minste verdi av \(f\) i intervallet \([x_1, x_2]\) og så videre. Da vil summen \(S = M_1(x_1 – a) + M_2(x_2 – x_1) + \ldots + M_n(b – x_{n-1})\) være større enn eller lik summen \(s = m_1(x_1 – a) + m_2(x_2 – x_1) + \ldots + m_n(b – x_{n-1})\). Vi har alltid at \(s\le \int\limits_a^b f(x) \, \mathrm{d}x \le S\) om vi lar integralet stå for arealet under kurven (og over \(x\)-aksen) mellom \(a\) og \(b\).

Man kan her vise at forskjellen mellom \(S\) og \(s\) kan gjøres så liten man bare vil ved å velge oppdelingen av intervallet \([a,b]\) tilstrekkelig fin, det vil si ved å gjøre hvert av delintervallene tilstrekkelig korte. Dette betyr at \(S\) og \(s\) nærmer seg samme grenseverdi når man går til stadig finere oppdelinger av intervallet \([a,b]\). Denne felles grenseverdien kalles det bestemte integral av \(f\) fra \(a\) til \(b\), og skrives slik:

\[I = \int\limits_a^b f(x) \, \mathrm{d}x.\]

Geometrisk vil integralet \(I\) representere det arealet som er begrenset av \(x\)-aksen, ordinatene i \(a\) og \(b\) og kurven \(y = f(x)\). Kort sier vi at integralet er arealet under kurven \(y\) mellom \(a\) og \(b\).

Den grunnleggende sammenhengen mellom differensialregningen og integralregningen baserer seg på følgende to fakta:

• Om integralet \(I\) betraktes som en funksjon av høyre endepunkt \(b\) av intervallet \([a,b]\), vil den deriverte av denne funksjon være lik integranden \(f\).
• Om \(F\) er et ubestemt integral (en antiderivert av \(f\)), vil vi ha at \[I = \int\limits_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = F(b) – F(a).\] Dette kalles analysens fundamentalteorem.

Den siste ligningen åpner muligheten for å beregne et areal ved bare først å utføre en antiderivasjon, det vil si finne det ubestemte integral \(F\), og deretter finne differansen mellom \(F(b)\) og \(F(a)\). Tilsvarende metode kan brukes for andre størrelser som volum, masse, arbeid og så videre.

Integralet definert som grensen for en uendelig sum slik som ovenfor, kalles ofte det riemannske integral (etter den tyske matematikeren Bernhard Riemann), selv om denne ideen går tilbake til infinitesimalregningens første tid. Senere er det blitt innført andre og utvidede integralbegreper. Mest kjent er det såkalte Lebesgue-integral innført av den franske matematikeren Henri Lebesgue omkring år 1900. Dette integralbegrepet kan anvendes på en stor klasse funksjoner, og for de kontinuerlige funksjoner faller det sammen med det riemannske begrep (se målteori).

Definisjonen av et integral som grensen for en sum eller som flateinnholdet av en del av planet definert ved kurven \(y=f(x)\) kan utvides til rommet. Dette fører til dobbeltintegraler:

\[I = \iint F(x,y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y.\]

Disse kan på en lignende måte oppfattes som et volum definert ved flaten \(z = f(x,y)\), i det minste hvis \(f\) også her er en positiv funksjon. Multiple integraler i høyere dimensjoner kan defineres på tilsvarende måte. Beregning av slike multiple integraler kan tilbakeføres til gjentatte enkle integralberegninger.

Integralbegrepet er også blitt utvidet på andre måter. Spesielt spiller integraler en fundamental rolle ved oppbyggingen av kompleks funksjonsteori. I geometri, vektoranalyse og i mange grener av anvendt matematikk spiller de såkalte kurveintegraler en viktig rolle. Nyere forskning har også ledet til definisjoner av integraler i mer abstrakte områder hvor verken definisjonsområdet eller funksjonsverdiene behøver å bestå av tall.

Integralregning ble utviklet systematisk av Isaac Newton og Gottfried Wilhelm Leibniz. uavhengig av hverandre, men omtrent samtidig på slutten av 1600-tallet. Integraltegnet \(\int\) og symbolet \(\mathrm{d}x\), som kalles differensialet av \(x\), ble innført av Leibniz.

Integralregningen hadde forskjellige forløpere. Allerede Arkimedes løste en rekke problemer som nå naturlig løses ved integrasjon. Også Johannes Kepler, Bonaventura Cavalieri, Paul H. Guldin, Pierre de Fermat, Blaise Pascal, John Wallis og Isaac Barrow forberedte integralregningens utvikling.

• differensialregningen
• infinitesimalregning
• matematisk analyse