Vektorregning er den delen av matematikken som omhandler regning med vektorer. Vektorregning er egentlig et synonym for lineær algebra, men oppfattes ofte som den mer konkrete delen av denne.
Vektorer har mange forskjellige anvendelser, spesielt innen fysikk og teknikk.
Vektorregningen har fire grunnleggende operasjoner: addisjon av to vektorer, multiplikasjon av en skalar (et tall) med en vektor, indreprodukt (eller skalarprodukt) av to vektorer, og vektorprodukt (kryssprodukt) av to vektorer (se også matriseregning). De to første operasjonene er definert i artikkelen om lineær algebra.
Indreproduktet \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) av to vektorer \(\vec{a}=[a_1,a_2,a_3]\) og \(\vec{b}=[b_1,b_2,b_3]\) er definert som tallet \(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\). Det kan også defineres som tallet \(|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cos\alpha\), hvor \(|\vec{a}|\) og \(|\vec{b}|\) er lengdene av \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\), og \(\alpha\) er vinkelen mellom dem.
Siden indreproduktet er et tall, også kalt en skalar, kalles indreproduktet også for skalarprodukt.
Vektorproduktet av to vektorer kalles også kryssproduktet. Det skrives \(\vec{a}\times\vec{b}\) og er definert som en vektor som er vinkelrett på både \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) slik at vektorene \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) og \(\vec{a}\times\vec{b}\) danner et høyresystem (se høyrehåndsregelen). Vektorproduktet \(\vec{a}\times\vec{b}\) av to vektorer \(\vec{a}=[a_1,a_2,a_3]\) og \(\vec{b}=[b_1,b_2,b_3]\) er definert som vektoren\[ [a_1,a_2,a_3]\times[b_1,b_2,b_3]=[a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1].\]Lengden av \(\vec{a}\times\vec{b}\) er lik arealet av det parallellogrammet som de to vektorene spenner ut.
Disse fire operasjonene oppfyller en rekke regneregler. For eksempel oppfyller vektorproduktet den distributive lov med hensyn på vektoraddisjon: \(\vec{a}\times (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}\). Vektorproduktet oppfyller imidlertid ikke den kommutative lov, ettersom \(\vec{a}\times\vec{b}=-(\vec{b}\times\vec{a})\).
Vektoren med lengde null kalles nullvektoren og skrives \(\vec{0}\).
Til vektorregningen i vid forstand hører også vektoranalysen, som blant annet omfatter differensialregning og integralregning for vektorer og vektorfunksjoner. Spesielt er et vektorfelt et system av vektorer, slik at hvert punkt i rommet er tilordnet en bestemt vektor \(\vec{a}=[a_x,a_y,a_z]\), hvor komponentene \(a_x\), \(a_y\) og \(a_z\) alle er funksjoner av \(x\), \(y\) og \(z\). Noen eksempler fra fysikken er elektriske og magnetiske felter, hvor vektoren i et gitt punkt gir kraftens størrelse og retning i punktet. Skalaren \(\mathrm{div} \vec{a}=\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z}\) kalles vektorfeltets divergens og måler kraftlinjenes tetthet i kraftfeltet. Rotasjonen (eller virvelen) i feltet måles ved vektoren \(\mathrm{curl}\vec{a} \). Feltet sies å være rotasjonsfritt eller virvelfritt dersom vi overalt har \(\mathrm{curl}\vec{a}=\vec{0}\).
Et skalarfelt kan oppfattes som et spesialtilfelle av et vektorfelt, men også rett og slett som en funksjon som til hvert punkt i et visst område i rommet tilordner et reelt tall, det vil si som en vanlig reell funksjon av tre reelle variable. Variasjonen av trykk eller temperatur i en væske gir eksempler på skalarfelter. Fra et skalarfelt \(f(x,y,z)\) kan man avlede et vektorfelt grad \(f\) gitt ved \(\mathrm{grad} f=\left[\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right]\). Dette vektorfeltet kalles gradienten til \(f\) og angir i hvilken retning potensialfunksjonen \(f\) vokser mest.
Tensorregningen kan betraktes som en utvidelse av vektorregningen og spiller blant annet en viktig rolle i den generelle relativitetsteorien.
Noen viktige forløpere for den moderne vektorregning er William R. Hamiltons kvaternioner og H. G. Grassmanns Ausdehnungslehre, som ble etterfulgt av primærarbeider av J. W. Gibbs (1839–1903) og O. Heaviside (1850–1925).
Kommentarer (2)
skrev morten eilertsen
svarte Erik Dyrhaug
Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.
Du må være logget inn for å kommentere.