Format e pacaktuara të limiteve

Në kalkulus, zakonisht është e mundur të llogaritet kufiri i shumës, diferencës, produktit, pjestimit ose fuqisë së dy funksioneve duke marrë kombinimin përkatës të kufijve të veçantë të secilit funksion përkatës. Për shembull,

$${\begin{aligned}\lim _{x\to c}{\bigl (}f(x)+g(x){\bigr )}&=\lim _{x\to c}f(x)+\lim _{x\to c}g(x),\\[3mu]\lim _{x\to c}{\bigl (}f(x)g(x){\bigr )}&=\lim _{x\to c}f(x)\cdot \lim _{x\to c}g(x),\end{aligned}}$$

dhe gjithashtu për veprime të tjera aritmetike; kjo nganjëherë quhet teorema e limitit algjebrik . Megjithatë, kombinime të caktuara të vlerave të veçanta kufizuese nuk mund të llogariten në këtë mënyrë, dhe njohja e limitit të secilit funksion veç e veç nuk mjafton për të përcaktuar limitin e kombinimit. Në këto situata të veçanta, limiti thuhet se merr një formë të papërcaktuar, të përshkruar nga një nga shprehjet joformale.

$${\frac {0}{0}},~{\frac {\infty }{\infty }},~0\times \infty ,~\infty -\infty ,~0^{0},~1^{\infty },{\text{ or }}\infty ^{0},$$

ku çdo shprehje qëndron për kufirin e një funksioni të ndërtuar nga një kombinim aritmetik i dy funksioneve kufijtë e të cilëve përkatësisht priren drejt 0, 1 ose pafundësisë.

Një limit që merr një nga këto forma të papërcaktuara mund të tentojë drejt zeros, mund të tentojë në çdo vlerë të fundme, mund të tentojë drejt pafundësisë ose mund të divergjojë, në varësi të funksioneve specifike të përfshira. Një kufi i cili në mënyrë të qartë priret drejt pafundësisë, për shembull ${\textstyle \lim _{x\to 0}1/x^{2}=\infty ,}$ nuk konsiderohet i papërcaktuar. Termi fillimisht u prezantua nga studenti i Koshisë Moigno në mesin e shekullit të 19-të.

Pra fakti që dy funksione $f(x)$ dhe $g(x)$ konvergojnë në $0$ si $x$ i afrohet një pike kufitare $c$ është e pamjaftueshme për të përcaktuar limitin

 

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}.$

Disa shembuj dhe jo shembuj

Forma e papërcaktuar 0/0

• 
  Fig. 1:y= ${\frac {x}{x}}$
• 
  Fig. 2:y=${\frac {x^{2}}{x}}$
• 
  Fig. 3:y=${\frac {\sin {x}}{x}}$
• 
  Fig. 4:y=(${\frac {x-49}{\sqrt {x-7}}}$përx= 49)
• 
  Fig. 5:y= ${\frac {ax}{x}}$
• 
  Fig. 6:y=${\frac {x}{x^{3}}}$

Forma e papërcaktuar $0/0$ është veçanërisht e zakonshme në llogaritje, sepse shpesh lind në vlerësimin e derivateve duke përdorur përkufizimin e tyre në termat e limitit.

Siç u përmend më lart,

 

$\lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}=1,\qquad$ (shiko fig. 1)

ndërsa

 $\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}=0,\qquad$

Kjo mjafton për të treguar se $0/0$ është një formë e papërcaktuar. Shembuj të tjerë me këtë formë të papërcaktuar përfshijnë

 $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$

dhe

 $\lim _{x\to 49}{\frac {x-49}{{\sqrt {x}}\,-7}}=14$

Forma e papërcaktuar 0 ⁰

</img>

Grafiku i y = x ⁰

</img>

Grafiku i y = 0 ^x

Kufijtë e mëposhtëm ilustrojnë se shprehja $0^{0}$ është një formë e pacaktuar: $${\begin{aligned}\lim _{x\to 0^{+}}x^{0}&=1,\\\lim _{x\to 0^{+}}0^{x}&=0.\end{aligned}}$$