Struktura algjebrike

Në matematikë, një strukturë algjebrike përbëhet nga një bashkësi joboshe A (e quajtur bashkësia themelore, bashkësia bartëse ose domeni ), një koleksion veprimesh në A (zakonisht veprime binare si mbledhja dhe shumëzimi) dhe një grup i kufizuar identitetesh, i njohur si aksiomat që këto veprime duhet të plotësojnë.

Një strukturë algjebrike mund të bazohet në struktura të tjera algjebrike me veprime dhe aksioma që përfshijnë disa struktura. Për shembull, një hapësirë vektoriale përfshin një strukturë të dytë të quajtur fushë, dhe një veprim të quajtur shumëzim skalar midis elementeve të fushës (të quajtur skalarë ) dhe elementeve të hapësirës vektoriale (të quajtura vektorë ).

Algjebra abstrakte është emri që zakonisht i jepet studimit të strukturave algjebrike. Teoria e përgjithshme e strukturave algjebrike është formalizuar në algjebrën universale . Teoria e kategorive është një tjetër zyrtarizim që përfshin edhe struktura dhe funksione të tjera matematikore ndërmjet strukturave të të njëjtit lloj ( homomorfizma ).

Paraqitja

Mbledhja dhe shumëzimi janë shembuj prototipikë të veprimeve që kombinojnë dy elementë të një grupi për të prodhuar një element të tretë të të njëjtit grup. Këto operacione u binden disa ligjeve algjebrike. Për shembull, a + ( b + c ) = ( a + b ) + c dhe a ( bc ) = ( ab ) c janë veti shoqëruese, dhe a + b = b + a dhe ab = ba janë veti ndërruese . Shumë sisteme të studiuara nga matematikanët kanë veprime që i binden disa, por jo domosdoshmërisht të gjitha, ligjeve të aritmetikës së zakonshme. Për shembull, lëvizjet e mundshme të një objekti në hapësirën tredimensionale mund të kombinohen duke kryer një lëvizje të parë të objektit dhe më pas një lëvizje të dytë nga pozicioni i tij i ri. Lëvizje të tilla, të quajtura zyrtarisht lëvizje të ngurta, i binden vetisë së shoqërimit, por nuk arrijnë të kënaqin vetinë e ndërrimit.

Ndërrueshmëria: Një operacion $*$ është komutativ nëse $x*y=y*x$
Shoqërueshmëria: Një operacion $*$ është asociative nëse $(x*y)*z=x*(y*z)$
Përdasia e majtë: Një veprim $*$ është përdasues i majtë në lidhje me një veprim tjetër $+$ nëse $x*(y+z)=(x*y)+(x*z)$
Përdasia e djathtë: Një veprim $*$ është përdasues i djathtë në lidhje me një veprim tjetër $+$ nëse $(y+z)*x=(y*x)+(z*x)$
Përdasia: Një veprim $*$ është shpërndarës në lidhje me një veprim tjetër $+$ nëse është edhe shpërndarës majtas edhe shpërndarës djathtas. Nëse veprimi $*$ është ndërrues, sh majtas dhe djathtas janë të dyja të njëvlerëshme me përdasinë.

Aksioma ekzistenciale

Disa aksioma të zakonshme përmbajnë një kusht ekzistencial . Në përgjithësi, një kusht i tillë mund të shmanget duke futur veprime të mëtejshme dhe duke zëvendësuar kushtin ekzistencial me një identitet që përfshin veprimin e ri. Më saktësisht, le të shqyrtojmë një aksiomë të formës "për të gjithë X ka y të tillë që $f(X,y)=g(X,y)$ ", ku X është një k - tupëll variablash. Zgjedhja e një vlere specifike të y për secilën vlerë të X përcakton një funksion $\varphi :X\mapsto y,$ i cili mund të shihet si një veprim i aritetit k, dhe aksioma bëhet identitet $f(X,\varphi (X))=g(X,\varphi (X)).$

Futja e një veprimi të tillë ndihmës e ndërlikon pak deklaratën e një aksiome, por ka disa përparësi. Duke pasur parasysh një strukturë specifike algjebrike, prova që një aksiomë ekzistenciale kënaqet, qëndron në përgjithësi nga përkufizimi i funksionit ndihmës, i plotësuar me verifikime të drejtpërdrejta. Gjithashtu, kur llogaritet në një strukturë algjebrike, në përgjithësi përdoren në mënyrë eksplicite operacionet ndihmëse. Për shembull, në rastin e numrave, shtesa e anasjelltë sigurohet nga operacioni unar minus $x\mapsto -x.$

Këtu janë disa nga aksiomat më të zakonshme ekzistenciale.

Elementi i identitetit: Një veprim binar $*$ ka një element identiteti nëse ka një element e të tillë që $x*e=x\quad {\text{and}}\quad e*x=x$
Element i anasjelltë: Jepet një veprim binar $*$ që ka një element identiteti e, një element x është i kthyeshëm nëse ka një element të anasjelltë, domethënë nëse ekziston një element $\operatorname {inv} (x)$ sikurse $\operatorname {inv} (x)*x=e\quad {\text{and}}\quad x*\operatorname {inv} (x)=e.$

Strukturat e zakonshme algjebrike

Një bashkësi me veprime

Struktura të thjeshta : pa veprim binar :

Bashkësia : një strukturë algjebrike e degjeneruar S që nuk ka veprime.

Struktura të ngjashme me grupin : një veprim binar. Veprimi binar mund të tregohet me çdo simbol, ose pa simbol (përballje) siç bëhet për shumëzimin e zakonshëm të numrave realë.

Grupi : një monoid me një veprim unar (invers), duke krijuar elemente të anasjellta .
Grupi Abelian : një grup veprimi binar i të cilit është ndërrues .

Struktura të ngjashme me unazën ose Ringoids : dy veprime binare, të quajtura shpesh mbledhje dhe shumëzim, me shumëzim që përdasohet mbi mbledhje.

Unaza : një gjysëm monoid mbledhësi i të cilit është një grup abelian.
Unaza e pjesëtimit : një unazë jo triviale në të cilën përcaktohet pjesëtimi me elementë jozero.
Unazë ndërruese : një unazë në të cilën veprimi i shumëzimit është ndërrues.
Fusha : një unazë ndërruese pjesëtimi (dmth. një unazë ndërruese e cila përmban një invers shumëzues për çdo element jozero).