Centrum (gruppteori)

Centrum, Z(G), även betecknat Z_G, för en grupp G definieras som $\mathrm {Z} (G)=\{z\in G\mid \ gz=zg\ \ \forall g\in G\}.$

Z(G) är abelsk och en normal delgrupp i G. Om Z(G) = {e} säges G ha ett trivialt centrum och om G är abelsk, så är Z(G) = G. Kvotgruppen G/Z(G) är isomorf med gruppen av inre automorfier, Inn(G), på G. Om G är en grupp, sådan att |G| = pⁿ, där p är ett primtal och n ≥ 1, så är Z(G) ≠ {e}.

För exempelvis den dihedrala gruppen D₄, med |D₄| = 2³ och som kan åskådliggöras med de åtta avbildningarna av en kvadrat på sig själv, är Z(D₄) = {I,ψ²}, där I = e är identitetsavbildningen och ψ² är vridning ett halvt varv. D₄ kallas även den oktala gruppen och är en delgrupp till S₄. Kvotgruppen D₄/Z(D₄) är isomorf med Kleins fyrgrupp.

Se även

• Gruppautomorfi

Källor

• B.L. van der Waerden, Algebra, Springer Verlag, Berlin 1950.
• I.N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell, New York 1964.
• J.B. Fraleigh, Abstract Algebra, Addison-Wesley, New York 1967.