Matrisnorm

Inom matematik är en matrisnorm en naturlig förlängning av vektorrnormen för matriser.

Egenskaper

En matrisnorm har samma egenskaper som en vektornorm, och följande gäller då för en matrisnorm i rummet $K_{m,n}$, då $K$ är en kropp, till exempel de reella eller komplexa talen. $A$ och $B$ är matriser i $K_{m,n}$:

• $\|A\|\geq 0$ med likhet om och endast om $A=0$
• $\|\alpha A\|=|\alpha |\|A\|$ för alla $\alpha \in K$
• $\|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|$

För kvadratiska matriser uppfyller vissa, men inte alla, matrisnormer

$\|AB\|\leq \|A\|\|B\|$

ett rum av reella eller komplexa kvadratiska matriser med en norm som uppfyller detta bildar en Banachalgebra.

Inducerade normer

Om normer för $K^{m}$ och $K^{n}$ är givna (då $K$ är någon kropp, exempelvis de reella eller komplexa talen), kan man definiera en inducerad norm (en så kallad operatornorm) på rummet av alla matriser med format m × n med:

$\|A\|=\max\{\|Ax\|:x\in K^{n},\|x\|\leq 1\}=\max\{\|Ax\|:x\in K^{n},\|x\|=1\}=\max\{{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}:x\in K^{n},\|x\|\neq 0\}$

Om vektornormen är en p-norm blir då matrisnormen:

$\|A\|_{p}=\max _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{p}}{\|x\|_{p}}}$

Om $p=1$ eller $p=\infty$ kan normen beräknas som:

$\|A\|_{1}=\max _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|$, dvs den största kolumnsumman (av elementens belopp)

$\|A\|_{\infty }=\max _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|$, den största radsumman.

Om $p=2$ och $m=n$ kallas den inducerade matrisnormen för spektralnormen och är lika med matrisens största singulärvärde eller den roten ur det största egenvärdet till den positivt definita matrisen $A^{*}A$:

$\|A\|_{2}={\sqrt {\lambda _{max}(A^{*}A)}}$,

där $A^{*}$ är det hermiteska konjugatet till $A$.

Elementvisa normer

För matriser i $K_{m,n}$:

Frobeniusnormen

Frobeniusnormen är i princip en förlängning av den vanliga euklidiska normen för vektorer:

$\|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}}}={\sqrt {\operatorname {tr} {(A^{*}A)}}}$

Där tr är matrisspåret och $A^{*}$ betecknar $A$:s hermiteska konjugat.

P-normen

En generalisering av Frobeniusnormen är p-normen:

$\|A\|_{p}=(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{p})^{1/p}$

Maximalnormen

Maximalnormen är det till beloppet största talet i matrisen:

$\|A\|_{max}=\operatorname {max} {|a_{ij}|}$.

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Matrisnorm.
  Bilder & media