ข้ามไปเนื้อหา

ฟังก์ชันประกอบ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ฟังก์ชันประกอบ (อังกฤษ: Function composition) ในทางคณิตศาสตร์ ตัวดำเนินการฟังก์ชันประกอบ จะนำฟังก์ชันสองตัว ฟังก์ชั่น และ มารวมกันและให้ฟังก์ชันใหม่ นั่นคือ ฟังก์ชัน g ถูกใช้งานหลังจากที่ใช้ฟังก์ชัน f กับ x

การประกอบฟังก์ชันย้อนกลับ (Reverse Composition) บางครั้งเขียนแทนด้วย ซึ่งหมายถึงการทำงานในลำดับตรงกันข้าม โดยใช้ฟังก์ชัน ก่อนและ หลัง ในเชิงสัญชาตญาณ การประกอบย้อนกลับเป็นกระบวนการต่อเนื่องที่ผลลัพธ์ของฟังก์ชัน f จะถูกส่งเข้าเป็นอินพุตของฟังก์ชัน g.

การประกอบฟังก์ชันเป็นกรณีพิเศษของการประกอบความสัมพันธ์ (Composition of Relations) ซึ่งบางครั้งใช้สัญลักษณ์ ด้วยเช่นกัน ดังนั้นคุณสมบัติทั้งหมดของการประกอบความสัมพันธ์จึงสามารถนำมาใช้กับการประกอบฟังก์ชันได้ เช่น

ตัวอย่าง

[แก้]
ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมสำหรับองค์ประกอบของสองฟังก์ชัน
  • การประกอบฟังก์ชันบนเซตจำกัด: ถ้า f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} และ g = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} จะได้ว่า gf = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)} ตามที่แสดงในภาพ
  • การประกอบฟังก์ชันบนเซตอนันต์: ถ้า f: RR (โดยที่ R คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด) กำหนดโดย f(x) = 2x + 4 และ g: RR กำหนดโดย g(x) = x3, จะได้ว่า:
    (fg)(x) = f(g(x)) = f(x3) = 2x3 + 4, และ
    (gf)(x) = g(f(x)) = g(2x + 4) = (2x + 4)3.
  • ถ้าความสูงของเครื่องบินในเวลา t คือ a(t) และความดันอากาศที่ความสูง x คือ p(x) ดังนั้นจะได้ว่า (pa)(t) คือความดันอากาศรอบเครื่องบินที่เวลา t

สมบัติ

[แก้]

การประกอบฟังก์ชันมี สมบัติการเปลี่ยนหมู่—ซึ่งเป็นสมบัติที่ได้รับจากการประกอบความสัมพันธ์ นั่นคือ ถ้า f, g และ h เป็นฟังก์ชันที่สามารถประกอบกันได้ จะมีความสัมพันธ์ดังนี้: f ∘ (g ∘ h) = (f ∘ g) ∘ h.[1] เนื่องจากวงเล็บไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ในการประกอบฟังก์ชัน จึงมักจะละการเขียนวงเล็บออก

ในความหมายเชิงลึก การประกอบฟังก์ชัน g ∘ f จะมีความหมายได้ก็ต่อเมื่อโคโดเมน (codomain) ของ f เท่ากับโดเมนของ g ในความหมายที่กว้างขึ้น มันก็เพียงพอที่สิ่งแรกจะเป็นซับเซตที่ไม่เหมาะสมของสิ่งที่สอง นอกจากนี้ บ่อยครั้งมันสะดวกที่จะจำกัดโดเมนของ f เช่นเดียวกับที่ f ซึ่งสร้างค่าเฉพาะในโดเมนของ g ตัวอย่างเช่น ผลลัพธ์ของการรวมฟังก์ชัน g ∘ f ฟังก์ชัน f : R(−∞,+9] ที่กำหนดโดย f(x) = 9 − x2 และ g : [0,+∞)R ที่กำหนดโดย สามารถนิยามได้ในช่วง[−3,+3]

การรวมฟังก์ชันจริงสองตัว ได้แก่ ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์และฟังก์ชันกำลังสาม ในลำดับที่แตกต่างกัน ไม่แสดงให้เห็นถึงความสับสนในการรวมฟังก์ชัน

ฟังก์ชัน g และ f จะสามารถใช้สมบัติการสลับที่ได้ ถ้า g ∘ f = f ∘ g ซึ่งหมายความว่าการรวมฟังก์ชันในลำดับใดก็ได้จะให้ผลลัพธ์เหมือนกัน การมีคุณสมบัติการสลับกันได้นั้นเป็นคุณสมบัติพิเศษที่เกิดขึ้นเฉพาะกับฟังก์ชันบางตัว และมักจะเกิดขึ้นในสถานการณ์พิเศษ ตัวอย่างเช่น |x| + 3 = |x + 3| จะเป็นจริงเมื่อ x ≥ 0 โดยภาพที่แสดงยังมีตัวอย่างนอกจากนี้เช่นกัน

การรวมฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จะได้ฟังก์ชันที่เป็นหนึ่งต่อหนึ่งเสมอ ในทำนองเดียวกัน การรวมฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันทั่วถึง จะได้ฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันครอบคลุมเสมอ ดังนั้น การรวมฟังก์ชันสองตัวที่เป็นฟังก์ชันทั้งหนึ่งต่อหนึ่งและครอบคลุม จะเป็นฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง เช่นเดียวกัน ฟังก์ชันผกผันของการรวมฟังก์ชัน (ซึ่งสมมติว่ามีการผกผันได้) มีคุณสมบัติว่า (f ∘ g)−1 = g−1f−1

อนุพันธ์ ของการรวมฟังก์ชันที่มีความแตกต่างได้สามารถหาได้โดยใช้กฎลูกโซ่ สำหรับ อนุพันธ์อันดับสูงของฟังก์ชันเหล่านี้ จะใช้สูตรของ Faà di Bruno's formula

การรวมฟังก์ชันบางครั้งถูกอธิบายว่าเป็นการคูณชนิดหนึ่งในพื้นที่ของฟังก์ชัน แต่มีคุณสมบัติที่แตกต่างจากการคูณแบบจุดของฟังก์ชัน (เช่น การรวมฟังก์ชันไม่เป็นการคูณที่สับเปลี่ยนได้)[2]

การรวมฟังก์ชันในโครงสร้างโมนอยด์

[แก้]

หากเรามีฟังก์ชันสองตัว (หรือมากกว่า) f: XX, g: XX ซึ่งมีโดเมนและโคโดเมนเดียวกัน ฟังก์ชันเหล่านี้มักเรียกว่าการเปลี่ยนแปลง เราสามารถสร้างโซ่ของการเปลี่ยนแปลงที่รวมกัน เช่น ffgf โซ่เหล่านี้มีโครงสร้างทางพีชคณิตของโมนอยด์ ซึ่งเรียกว่า การเปลี่ยนแปลง ของ โมนอยด์ หรือ (ซึ่งหาได้ยาก) โมโนอิดการรวม โดยทั่วไป โมนอยด์การเปลี่ยนแปลงอาจมีโครงสร้างที่ซับซ้อนมาก ตัวอย่างที่น่าสังเกตอย่างหนึ่งคือเส้นโค้งเดอรัม เซตของฟังก์ชันทั้งหมด f: XX เรียกว่า เซมิกรุ๊ปการแปลง (full transformation semigroup) หรือ เซมิโก๊ปสมมาตร (symmetric semigroup) บน X (เราสามารถนิยามเซมิโก๊ปสองตัวขึ้นอยู่กับการนิยามการดำเนินการของเซมิโก๊ปว่าเป็นการรวมฟังก์ชันทางซ้ายหรือทางขวา)

การรวมกันของ การส่งแบบไข้ว (สีแดง) และการหมุนตามเข็มนาฬิกา 45° (สีเขียว) ด้านซ้ายคือวัตถุเดิม ด้านบนคือการเปลี่ยนรูปเชิงเฉียงก่อน แล้วจึงหมุน ด้านล่างคือการหมุนก่อน แล้วจึงเปลี่ยนรูปเชิงเฉียง

หากการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้เป็น ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (และดังนั้นสามารถผกผันได้) ชุดของการรวมกันทั้งหมดที่เป็นไปได้ของฟังก์ชันเหล่านี้จะสร้างกลุ่มการเปลี่ยนแปลง (transformation group); และกล่าวได้ว่ากลุ่มนี้ถูกสร้างขึ้น โดยฟังก์ชันเหล่านี้ ผลลัพธ์พื้นฐานในทฤษฎีกลุ่ม ทฤษฎีบทของเคย์ลีย์ กล่าวโดยพื้นฐานว่ากลุ่มใด ๆ เป็นเพียงกลุ่มย่อยของกลุ่มการจัดเรียง (จนถึง ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึม)[3] ชุดของฟังก์ชันที่เป็นหนึ่งต่อหนึ่งทั้งหมด f: XX (ซึ่งเรียกว่าการจัดหมู่) จะสร้างกลุ่มหนึ่งในด้านการรวมฟังก์ชัน กลุ่มนี้เรียกว่ากลุ่มสมมาตร หรือบางครั้งเรียกว่า กลุ่มการรวม (composition group).

ในเซมิโก๊ปสมมาตร (symmetric semigroup) ซึ่งประกอบด้วยการเปลี่ยนแปลงทั้งหมด ยังมีแนวคิดของการผกผันที่อ่อนแอกว่าและไม่เป็นเอกลักษณ์ (เรียกว่า pseudoinverse) เนื่องจากเซมิโก๊ปสมมาตรเป็นเซมิโก๊ปปกติ

อ้างอิง

[แก้]
  1. Weisstein, Eric W. "Composition". mathworld.wolfram.com (ภาษาอังกฤษ). สืบค้นเมื่อ 2020-08-28.
  2. "3.4: การรวมฟังก์ชัน". Mathematics LibreTexts (ภาษาอังกฤษ). 2020-01-16. สืบค้นเมื่อ 2020-08-28.
  3. มหาวิทยาลัยรามคำแหง, ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น. "8.2 กราฟถอดแบบ Isomorphism of Graphs" (PDF). old-book.ru.ac.th. สืบค้นเมื่อ 2020-08-28.