Ganap na halaga

Maaaring isipin na ang ganap na halaga ng isang bilang ay ang layo nito mula sa sero.

Sa matematika, ang ganap na halaga (Kastila at Portuges, valor absoluto, Pranses, valeur absolue, Aleman, Absolutwert, Ingles, absolute value) o modulus ${\textstyle \vert x\vert }$ ng isang tunay na numerong ${\textstyle x}$ ay ang di-negatibong halaga ng ${\textstyle x}$. Sa makatuwid, ${\textstyle \vert x\vert =x}$ para sa isang positibong $x$, ${\textstyle \vert x\vert =-x}$ para sa isang negatibong $x$ (kung saan ang ${\textstyle -x}$ ay positibo), at ${\textstyle \vert 0\vert =0}$. Halimbawa, ang ganap na halaga ng 3 ay 3, at ang ganap na halaga ng -3 ay 3 rin. Maaaring isipin na ang gana na halaga ng isang bilang ay ang distansya nito mula sa sero.

Kahulugan at katangian

Ang grapo ng punsiyong ganap na halaga para sa mga tunay na mga numero

Real number

Para sa anumang real number na ${\textstyle x}$, ang ganap na halaga ng ${\textstyle x}$ ay naka-denote sa pamamagitan ng ${\textstyle \vert x\vert }$ (dalawang nakapalibot na patayong bara), at nakatukoy bilang

${\displaystyle }$$|x|={\begin{cases}x,&{\mbox{kung }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{kung }}x<0.\end{cases}}$

Makikita sa pagtukoy sa ibabaw na hindi maaaring maging negatibo ang ganap na halaga ng isang bilang, ngunit maaari pa rin itong maging sero.

Dahil ang halaga ng isang square root na walang sign ay positibo, ang sumusunod ay ipinapahiwatig:

${\displaystyle }$$\vert a\vert ={\sqrt {a^{2}}}$

(1)

Minsan ay ginagamit ang tumbasan sa ibabaw upang i-define ang ganap na halaga ng isang bilang.

Mayroong apat na pangunahing katangian ang ganap na halaga:

${\displaystyle }$$\vert a\vert \geq 0$	(2)	Hindi pagiging negatibo
${\displaystyle }$$\vert a\vert =0\iff a=0$	(3)	Positibong katiyakan
${\displaystyle }$$\vert ab\vert =\vert a\vert \vert b\vert$	(4)	Pagiging multiplicative
${\displaystyle }$$\vert a+b\vert \leq \vert a\vert +\vert b\vert$	(5)	Pagiging subadditive

May iba pang mga mahahalagang katangian ang ganap na halaga:

$|(|a|)|=|a|$	(6)	Idempotensiya (ang ganap na halaga ng isang ganap na halaga ay isang ganap na halaga)
$|-a|=|a|$	(7)	Pagiging even (simetrikong repleksiyon ng graph)
$|a-b|=0\iff a=b$	(8)	Identidad ng pagiging indiscernible (katulad ng positibong katiyakan)
$|a-b|\leq |a-c|+|c-b|$	(9)	Triangle inequality (katulad ng pagiging subadditive)
$\left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}\$ (if $b\neq 0$)	(10)	Pagpapanatili ng dibisyon (katulad ng pagiging multiplicative)
$|a-b|\geq |(|a|-|b|)|$	(11)	Baliktad na triangle inequality (katulad ng pagiging subadditive)

Dalawang iba pang mga katangian ukol sa di-pagkakatumbas (inequality) ay ang:

${\displaystyle }$$|a|\leq b\iff -b\leq a\leq b$

${\displaystyle }$$\vert a\vert \geq b\iff a\leq -b$ o $b\leq a$

Punsiyong ganap na halaga

Ang ganap na halaga ng isang real number ay tuloy-tuloy sa lahat ng dako. Ito ay differentiable saanman maliban sa ${\textstyle x=0}$. Ito ay pababa lamang sa pagitan ng ${\textstyle (-\infty ,0]}$ at pataas lamang sa pagitan ng ${\textstyle [0,+\infty )}$. Dahil ang ganap na halaga ng isang tunay na numero at ang kanyang negatibong katambal ay pareho, ito ay isang even na punsiyon, at samakatuwid ay hindi mababaliktad (invertible). Ang ganap na halaga ng isang totoong bilang ay piecewise-linear at convex.