Mükemmel kuvvet

Matematikte mükemmel kuvvet, bir pozitif tam sayının pozitif kuvvetinin oluşturduğu tam sayıdır. Daha açık bir ifade ile, doğal sayılarda, m > 1 ve k > 1 için m^k = n eşitliğindeki n mükemmel kuvvettir. Bu durumda n, mükemmel k. kuvvet olarak adlandırılır. Eğer k = 2 veya k = 3 olursa n, sırasıyla tam kare veya küp olur. Bazen 1 de, mükemmel kuvvet olarak anılır. (Herhangi bir k için, 1^k = 1'dir.)

Örnekler ve toplamlar

m ve k pozitif değerleri yinelenerek mükemmel kuvvetler dizisi oluşturulabilir. Sayısal sıraya göre ilk birkaç artan mükemmel kuvvet, (kuvvetlerin çarpımını gösterir) şunlardır:

$2^{2}=4,\ 2^{3}=8,\ 3^{2}=9,\ 2^{4}=16,\ 4^{2}=16,\ 5^{2}=25,\ 3^{3}=27,\$ $2^{5}=32,\ 6^{2}=36,\ 7^{2}=49,\ 2^{6}=64,\ 4^{3}=64,\ 8^{2}=64,\dots$

Mükemmel kuvvetlerin çarpmaya göre terslerinin toplamı 1'dir. Şu eşitlikle gösterilir:

$\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=1.$

Şu şekilde ispat edilebilir:

$\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\left({\frac {m}{m-1}}\right)=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)}}=\sum _{m=2}^{\infty }\left({\frac {1}{m-1}}-{\frac {1}{m}}\right)=1\,.$

Birinci mükemmel kuvvetler şunlardır:

(bazen 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, ...

p mükemmel kuvvetlerin çarpmaya göre terslerinin toplamı:

$\sum _{p}{\frac {1}{p}}=\sum _{k=2}^{\infty }\mu (k)(1-\zeta (k))\approx 0.874464368\dots$

Burada μ(k), Möbius fonksiyonu ve ζ(k), Riemann zeta fonksiyonudur.

Euler, Goldbach'a göre p mükemmel kuvvetler kümesinde 1/(p−1) toplamı, (1 dahil, katları hariç) 1'dir:

$\sum _{p}{\frac {1}{p-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots =1.$

Ayrıca bakınız

• Asal kuvvet